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Hallo Leute,
folgende Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also muss ich zeigen, dass all diese Potenzen sich durch Linearkombination von 2 lin. unabhängigen Matrizen darstellen lassen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo TommyAngelo,
> Also muss ich zeigen, dass all diese Potenzen sich durch
> Linearkombination von 2 lin. unabhängigen Matrizen
> darstellen lassen?
Fast. Vergiss nicht, dass nur Ursprungsebenen sich so darstellen lassen. Womöglich brauchst Du noch einen Aufpunkt, also eine additive konstante dritte Matrix, so dass [mm] C^i=A+\lambda B+\mu{D} [/mm] ist und damit eine Ebene.
Grüße
reverend
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Wie stell ich das am besten an?
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Nimm eine beliebige Matrix [mm] C=\pmat{ a & b \\ c & d }. [/mm] Wie sieht [mm] C^2 [/mm] aus, wie [mm] C^3? [/mm] Erkennst Du eine Regel?
Deine Aufgabe setzt voraus, dass jede Matrix auf einen Vektor abgebildet wird:
[mm] C=\pmat{ a & b \\ c & d } \mapsto \vec{v}(C)=\vektor{a \\ b\\ c\\d}.
[/mm]
Allerdings gelten nicht die "normalen" Regeln der Vektormultiplikation, sondern nach wie vor die der Matrizenmultiplikation.
Betrachte die Vektoren, auf die [mm] C^2, C^3 [/mm] etc. abgebildet werden. Kannst Du eine Ebene aus [mm] \vec{v}(C), \vec{v}(C^2), \vec{v}(C^3) [/mm] konstruieren? Wenn ja, liegt [mm] \vec{v}(C^4) [/mm] auch in dieser Ebene?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:08 Di 19.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Ist C eine 2 [mm] \times [/mm] 2- Matrix, so ist ihr char. Polynom p ein Polynom vom Grade 2, also
$p(x) = [mm] x^2-ax-b$
[/mm]
Nach dem Satz von Cayley_Hamilton ist $p(C)= 0$, also
[mm] $C^2= [/mm] aC+bI$, (wobei I = 2 [mm] \times [/mm] 2 - Einheitsmatrix)
Dann ist z.B.
[mm] $C^3 [/mm] = C(aC+bI) = [mm] aC^2+bC= (a^2+b)C+abI$
[/mm]
Induktiv sieht man:
Zu jedem $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] gibt es Skalare [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] mit
[mm] $C^n [/mm] = a_nC+b_nI$
Also liegen alle Potenzen von C in der von C und I aufgespannten Ebene.
FRED
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Dankeschön, jetzt hab ich es verstanden. Der Satz von Cayley-Hamilton ist ja der Hammer.
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