Potenzen von A im Unterraum < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man zeige: alle Potenzen [mm] $A^i, [/mm] i [mm] \ge [/mm] 0$, von $A [mm] \in K^{nxn}$ [/mm] (mit K ein Körper) liegen in einem n-dimensionalen linearen Unterraum von [mm] $K^{nxn}$. [/mm] |
Hallo ich möchte die oben gestellte Aufgabe bearbeiten.
Mein Ansatz:
Der Satz von Cayley Hamilton besagt, dass die Potenz der Matrix einen höchstens n-dimensionalen linearen Unterraum $U$ von [mm] $K^{nxn}$ [/mm] aufspannt.
Damit wäre n-dimensional begründet.
Es fehlen noch die Eigenschaften: [mm] $A^i$ [/mm] ist ein linearer Unterraum:
(i) [mm] $U\neq\emptyset$
[/mm]
Beweis: [mm] $A^0=1$ [/mm] ist [mm] $\in [/mm] U$ also [mm] $U\neq\emptyset$
[/mm]
(ii) $v, w [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] v+w [mm] \in [/mm] U$
Beweis: [mm] $A^v [/mm] + [mm] A^w$ [/mm] mit [mm] $A^v, A^w \in [/mm] U [mm] \Rightarrow A^v [/mm] + [mm] A^w \in [/mm] U$
(iii) $a [mm] \in [/mm] K, v [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] av [mm] \in [/mm] U$
Beweis: [mm] $a*A^v$ [/mm] mit $A [mm] \in K^{nxn}$ [/mm] und [mm] $A^v \in [/mm] U [mm] \Rightarrow a*A^v$
[/mm]
Ich würde mich über eure Hilfe, Hinweise, Ansätze und Meinungen zu meinen Ideen freuen.
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Man zeige: alle Potenzen [mm]A^i, i \ge 0[/mm], von [mm]A \in K^{nxn}[/mm]
> (mit K ein Körper) liegen in einem n-dimensionalen
> linearen Unterraum von [mm]K^{nxn}[/mm].
>
>
> Hallo ich möchte die oben gestellte Aufgabe bearbeiten.
>
> Mein Ansatz:
>
> Der Satz von Cayley Hamilton besagt, dass die Potenz der
> Matrix einen höchstens n-dimensionalen linearen Unterraum
> [mm]U[/mm] von [mm]K^{nxn}[/mm] aufspannt.
Richtig.
> Damit wäre n-dimensional begründet.
>
> Es fehlen noch die Eigenschaften: [mm]A^i[/mm] ist ein linearer
> Unterraum:
Das ist zum Einen nicht zu zeigen, zum Anderen falsch.
[mm] $A^i$ [/mm] ist ja noch nicht mal eine Menge.
> (i) [mm]U\neq\emptyset[/mm]
> Beweis: [mm]A^0=1[/mm] ist [mm]\in U[/mm] also [mm]U\neq\emptyset[/mm]
> (ii) [mm]v, w \in U \Rightarrow v+w \in U[/mm]
> Beweis: [mm]A^v + A^w[/mm]
> mit [mm]A^v, A^w \in U \Rightarrow A^v + A^w \in U[/mm]
> (iii) [mm]a \in K, v \in U \Rightarrow av \in U[/mm]
>
> Beweis: [mm]a*A^v[/mm] mit [mm]A \in K^{nxn}[/mm] und [mm]A^v \in U \Rightarrow a*A^v[/mm]
Was soll hier U sein?
> Ich würde mich über eure Hilfe, Hinweise, Ansätze und
> Meinungen zu meinen Ideen freuen.
>
Du musst hier nur einen höchstens n-dimenensionalen Unterraum angeben, der alle Potenzen von A enthält.
Die entsprechende Idee hattest du bereits mit deinem ersten Absatz.
> Grüße
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Du musst hier nur einen höchstens n-dimenensionalen
> Unterraum angeben, der alle Potenzen von A enthält.
> Die entsprechende Idee hattest du bereits mit deinem
> ersten Absatz.
Wäre das dann einfach [mm] $K^n$?
[/mm]
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> > Du musst hier nur einen höchstens n-dimenensionalen
> > Unterraum angeben, der alle Potenzen von A enthält.
> > Die entsprechende Idee hattest du bereits mit deinem
> > ersten Absatz.
>
> Wäre das dann einfach [mm]K^n[/mm]?
Hallo,
das ist doch Quatsch: der [mm] K^n [/mm] enthält Spaltenvektoren, Du aber redest von einem Raum, der von Matrizen aufgespannt wird, nämlich von
[mm] U=.
[/mm]
Nach den genannten Satz ist er höchstens n-dimensional, Du kannst also ein Erzeugendensystem sagen, welches höchstens n Elemente enthält, und solltest natürlich auch begründen können, weshalb es eins ist.
Daß dieser Raum ein Unterraum ist, versteht sich auf der Stufe, die Du erklommen hast oder haben solltest, wenn Du diese Augabe löst, von selbst.
Das ist nicht zu zeigen.
LG Angela
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