Potenzen, rationaler Exponent < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Mo 25.08.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Termumformungen mit Potenzen
a) [mm] 4^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
b) [mm] 4^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
c) [mm] log_2 \wurzel[5]{2^3} [/mm] |
Hallo Zusammen,
also die a und b auflösen, stellt auch kein Problem dar:
a) [mm] 4^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel[2]{4^1} [/mm] = [mm] \wurzel{4} [/mm] = 2
b) [mm] 4^{\bruch{3}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel[2]{4^3} [/mm] = [mm] \wurzel{64} [/mm] = 8
jedoch muss ich bei der c) den Term [mm] \wurzel[5]{2^3} [/mm] noch auflösen, damit ich das Ergebnis des Logharithmus, also [mm] a^y [/mm] = x, würde noch so aussehen:
[mm] 2^y [/mm] = [mm] \wurzel[5]{2^3}
[/mm]
Was ist nun die fünfte Wurzel aus [mm] 2^3, [/mm] dies kann man zu einer Potenz umschreiben, da im Endeffekt alle Wurzeln, Potenzen sind, oder täusche ich mich da? Somit ergibt sich:
[mm] \wurzel[5]{2^3} [/mm] = [mm] 2^{\bruch{3}{5}} [/mm] = [mm] 2^{3\cdot{} \bruch{1}{5}} [/mm] = [mm] 8^{\bruch{1}{5}}, [/mm] wenn man sich nun die Definition anschaut: Die n-te Potenz einer Zahl ist n-mal die Zahl mit sich selbst multipliziert, somit würde sich [mm] \bruch{8}{5} [/mm] ergeben
-> [mm] 2^y [/mm] = [mm] \bruch{8}{5} [/mm] -> y = [mm] \bruch{3}{5}, [/mm] würde dies so stimmen und die Umformung?
Bei Potenzen mit rationalem Exponent, n=2 ist, kann man einfach die Wurzel ziehen. Jedoch bei n>2, wie ist dort das Vorgehen?
Zum Beispiel [mm] 7^{\bruch{3}{4}} [/mm] = [mm] 7^{3\cdot{} \bruch{1}{4}} [/mm] = [mm] 343^{\bruch{1}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{343}{4}, [/mm] die Umformung stimmt ja so nicht, warum hat dies aber bei c) funktioniert? Wie kann man dies ohne Hilfsmittel auflösen?
Bei den Potenzgesetzen bin ich leider nicht fündig geworden, man die Potenz zu einem Wurzelterm umschreiben [mm] \wurzel[4]{7^3}, [/mm] somit zweimal die Wurzel ziehen, geht im Kopf aber relativ schlecht, somit müsste es doch eine Möglichkeit geben, Potenzen mit rationalem Exponent, wo n>2 ist zu berechnen?
Vielen Dank,
itse
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Hallo itse,
> Termumformungen mit Potenzen
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> a) [mm]4^{\bruch{1}{2}}[/mm]
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> b) [mm]4^{\bruch{3}{2}}[/mm]
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> c) [mm]log_2 \wurzel[5]{2^3}[/mm]
> Hallo Zusammen,
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> also die a und b auflösen, stellt auch kein Problem dar:
>
> a) [mm]4^{\bruch{1}{2}}[/mm] = [mm]\wurzel[2]{4^1}[/mm] = [mm]\wurzel{4}[/mm] = 2
>
> b) [mm]4^{\bruch{3}{2}}[/mm] = [mm]\wurzel[2]{4^3}[/mm] = [mm]\wurzel{64}[/mm] = 8
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
>
> jedoch muss ich bei der c) den Term [mm]\wurzel[5]{2^3}[/mm] noch
> auflösen, damit ich das Ergebnis des Logharithmus, also [mm]a^y[/mm]
> = x, würde noch so aussehen:
>
> [mm]2^y[/mm] = [mm]\wurzel[5]{2^3}[/mm]
>
> Was ist nun die fünfte Wurzel aus [mm]2^3,[/mm] dies kann man zu
> einer Potenz umschreiben, da im Endeffekt alle Wurzeln,
> Potenzen sind, oder täusche ich mich da? Somit ergibt
> sich:
>
> [mm]\wurzel[5]{2^3}[/mm] = [mm]2^{\bruch{3}{5}}[/mm] = [mm]2^{3\cdot{} \bruch{1}{5}}[/mm]
> = [mm]8^{\bruch{1}{5}}, [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") wenn man sich nun die Definition
> anschaut: Die n-te Potenz einer Zahl ist n-mal die Zahl mit
> sich selbst multipliziert, somit würde sich [mm]\bruch{8}{5}[/mm]
> ergeben ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist [mm] $8^{\frac{1}{5}}\neq\frac{8}{5}$ [/mm] !!
sondern [mm] $=\sqrt[5]{8}$, [/mm] da hast du dich aber nur im Kreis gedreht 
>
> -> [mm]2^y[/mm] = [mm]\bruch{8}{5}[/mm] -> y = [mm]\bruch{3}{5},[/mm] würde dies so
> stimmen und die Umformung?
die letzten nach [mm] $8^{\frac{1}{5}}$ [/mm] nicht mehr
Du kannst einfacher einen alternativen Lösungsweg über das Logarithmusgeseht [mm] $\log_b\left(a^n\right)=n\cdot{}\log_b(a)$ [/mm] gehen, dann hast du direkt:
[mm] $y=\log_2\left(\sqrt[5]{2^3}\right)=\log_2\left(2^{\frac{3}{5}}\right)=\frac{3}{5}\cdot{}\log_2(2)=\frac{3}{5}$
[/mm]
Oder vllt. noch schneller mit deinem Ansatz:
[mm] $y=\log_2\left(\sqrt[5]{2^3}\right)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 2^{\red{y}}=2^{\red{\frac{3}{5}}}$
[/mm]
Hier einfach die Exponenten vergleichen, die Potenzfunktion [mm] $2^x$ [/mm] ist ja injektiv
>
> Bei Potenzen mit rationalem Exponent, n=2 ist, kann man
> einfach die Wurzel ziehen. Jedoch bei n>2, wie ist dort das
> Vorgehen?
>
> Zum Beispiel [mm]7^{\bruch{3}{4}}[/mm] = [mm]7^{3\cdot{} \bruch{1}{4}}[/mm] =
> [mm]343^{\bruch{1}{4}}[/mm] = [mm]\bruch{343}{4},[/mm] die Umformung stimmt
> ja so nicht, warum hat dies aber bei c) funktioniert?
Hat es nicht und ist falsch!
> Wie kann man dies ohne Hilfsmittel auflösen?
s. oben
> Bei den Potenzgesetzen bin ich leider nicht fündig
> geworden, man die Potenz zu einem Wurzelterm umschreiben
> [mm]\wurzel[4]{7^3},[/mm] somit zweimal die Wurzel ziehen, geht im
> Kopf aber relativ schlecht, somit müsste es doch eine
> Möglichkeit geben, Potenzen mit rationalem Exponent, wo n>2
> ist zu berechnen?
>
> Vielen Dank,
> itse
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Mo 25.08.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Du kannst einfacher einen alternativen Lösungsweg über das
> Logarithmusgeseht [mm]\log_b\left(a^n\right)=n\cdot{}\log_b(a)[/mm]
> gehen, dann hast du direkt:
>
> [mm]y=\log_2\left(\sqrt[5]{2^3}\right)=\log_2\left(2^{\frac{3}{5}}\right)=\frac{3}{5}\cdot{}\log_2(2)=\frac{3}{5}[/mm]
>
> Oder vllt. noch schneller mit deinem Ansatz:
>
> [mm]y=\log_2\left(\sqrt[5]{2^3}\right)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 2^{\red{y}}=2^{\red{\frac{3}{5}}}[/mm]
>
> Hier einfach die Exponenten vergleichen, die Potenzfunktion
> [mm]2^x[/mm] ist ja injektiv
>
> >
> > Bei Potenzen mit rationalem Exponent, n=2 ist, kann man
> > einfach die Wurzel ziehen. Jedoch bei n>2, wie ist dort das
> > Vorgehen?
> >
> > Zum Beispiel [mm]7^{\bruch{3}{4}}[/mm] = [mm]7^{3\cdot{} \bruch{1}{4}}[/mm] =
> > [mm]343^{\bruch{1}{4}}[/mm] = [mm]\bruch{343}{4},[/mm] die Umformung stimmt
> > ja so nicht, warum hat dies aber bei c) funktioniert?
>
> Hat es nicht und ist falsch!
>
> > Wie kann man dies ohne Hilfsmittel auflösen?
>
> s. oben
Der oben angegebe Lösungsweg verwendet jedoch eine Logarithmusregel, dies kann ich doch bei [mm] 7^{\bruch{3}{4}} [/mm] nicht anwenden? Somit müsste ich dies berechnen [mm] \wurzel[4]{343}. [/mm] Wie ist denn der Lösungsweg für Potenzen mit rationalem Exponent, gibt es dafür eine Regel aus den Potenzgesetzen, dort wird dies immer in einen Wurzelterm umgeschrieben, der mich auch nicht weiter bringt. Weiter Beispiele: [mm] 1024^{\bruch{1}{10}}, 0,008^{\bruch{1}{3}} [/mm] oder [mm] 0,0001^{-\bruch{1}{4}}
[/mm]
Gruß
itse
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du hast doch shcn alle Gesetze, die man anwenden kann. Nur manchmal ist es besonders schön, die Wurzel zu ziehen und manchmal wirds eben besonders hässlich in Form von "keine ganzen Zahlen"....
Wenn du dir deine Zahlen anguckst, dann wäre ja zB [mm] $1024^{1/10}=\sqrt[10]{1024}$
[/mm]
Und die 1024 ist eine Zahl, die man sich im Laufe der Zeit einprägt, wo einem dann die Zahl 2 einfällt....Denn die 2-er Potenzen sind recht "einfach": 2 4 8 16 32 64 128 256 etc ... Zähl mal weiter.
Genauso ist das ja auch mit deiner [mm] $0.008^{1/3}=\sqrt[3]{0.008}$
[/mm]
Naja, was ist [mm] 2^3? [/mm] Jetzt überleg mal weiter.
Bei deiner letzten Zahl ist es besonders einfach: [mm] $a^{-b}=\frac{1}{a^b}=\left(\frac{1}{a}\right)^b$
[/mm]
Kommst du jetzt weiter?
LG
Kroni
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