Potenz ist irrationale Zahl < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Sa 01.10.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
[mm] (-3)^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] +/-i*3^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Was ist nun, wenn ich eine Zahl nehme, die nicht zu den rationalen Gehört und diese in den Exponenten schreibe?
[mm] 5^{\pi} [/mm] zum Beispiel. Oder auch [mm] 5^{\bruch{1}{\pi}} [/mm] ? Ich meine erlaubt man Komplexe Zahlen, ist es ja so dass die 2. Wurzel zwei Lösungen gibt, die 3. drei Lösungen, usw.... Wenn jetzt der Exponent irrational ist, wieviele Lösungen gibts dann?;) Nicht definiert? Aber irgendwas musses ja geben...
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Sa 01.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm](-3)^{\bruch{1}{2}}[/mm] = [mm]+/-i*3^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Was ist nun, wenn ich eine Zahl nehme, die nicht zu den
> rationalen Gehört und diese in den Exponenten schreibe?
>
> [mm]5^{\pi}[/mm] zum Beispiel. Oder auch [mm]5^{\bruch{1}{\pi}}[/mm] ? Ich
> meine erlaubt man Komplexe Zahlen, ist es ja so dass die 2.
> Wurzel zwei Lösungen gibt, die 3. drei Lösungen, usw....
> Wenn jetzt der Exponent irrational ist, wieviele Lösungen
> gibts dann?;) Nicht definiert? Aber irgendwas musses ja
> geben...
Nun, [mm] $a^b$ [/mm] ist als [mm] $\exp(b \log [/mm] a)$ definiert (ausgenommen der Fall $a = 0$, den ignorier ich im Folgenden). Die Exponentialfunktion ist eindeutig, weshalb eine Mehrdeutigkeit nur vom Logarithmus kommen kann. Und tatsaechlich: ist [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \log [/mm] a$ ein (beliebig gewaehlter, aber fester) Wert des Logarithmus, so ebenfalls [mm] $\alpha [/mm] + 2 [mm] \pi [/mm] i$, [mm] $\alpha [/mm] + 4 [mm] \pi [/mm] i$, ...
Alle Werte erhaelt man mit [mm] $\alpha [/mm] + 2 k [mm] \pi [/mm] i$, $k [mm] \in \IZ$. [/mm] Damit ist [mm] $a^b [/mm] = [mm] \{ \exp(b \alpha + 2 k \pi i b) \mid k \in \IZ \} [/mm] = [mm] \exp(b \alpha) \cdot \{ \exp(2 k \pi i b) \mid k \in \IZ \}$.
[/mm]
Um also zu wissen, wieviele Werte [mm] $a^b$ [/mm] annimmt, musst du die Maechtigkeit von [mm] $\{ \exp(2 k \pi i b) \mid k \in \IZ \}$ [/mm] bestimmen. Ist $b = [mm] \frac{p}{q} \neq [/mm] 0$ eine rationale Zahl mit $p, q$ teilerfremd und $q > 0$, so ist [mm] $\exp(2 [/mm] k [mm] \pi [/mm] i b) = [mm] \exp(2 [/mm] k' [mm] \pi [/mm] i b)$ mit $k, k' [mm] \in \IZ$, [/mm] falls $k [mm] \equiv [/mm] k' [mm] \pmod{q}$ [/mm] gilt. Daraus (und etwas Mehraufwand) folgt: es gibt genau $q$ verschiedene Wurzeln, und [mm] $\exp(2 [/mm] k [mm] \pi [/mm] i b)$ nimmt gerade die Werte [mm] $\exp(\frac{2 k \pi i}{q})$, [/mm] $0 [mm] \le [/mm] k < q$ an.
Ist $b$ irrational und reell, so nimmt $k b [mm] \pmod{1}$ [/mm] mit $k [mm] \in \IZ$ [/mm] unendlich verschiedene Werte an (diese liegen dicht in $[0, 1)$), und somit ist die Menge [mm] $\{ \exp(2 k \pi i b) \mid k \in \IZ \}$ [/mm] abzaehlbar unendlich. Es gibt also dementsprechend viele $b$-te Potenzen von $a$.
Ist $b$ nicht reell, so hat [mm] $\exp(2 [/mm] k [mm] \pi [/mm] i b)$ einen Betrag [mm] $\neq [/mm] 1$ (ausser fuer $k = 0$), und jede solche Zahl liefert ein eindeutiges $k$. Damit gibt es ebenfalls abzaehlbar unendlich viele Potenzen, und diese haben (im Gegensatz zu den Faellen oben) alle verschiedene Betraege.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 So 02.10.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Felix,
Danke sehr wieder einmal! Demfalls läuft man in unendlich kleinen Schritten auf dem Einheitskreis und findet immer wieder mal einen passenden Wert. Nur ist es ja aber doch nicht jeder Punkt auf dem Kreis. Ist noch spannend...
Aber noch was, du schreibst doch:
... = [mm] \exp(b \alpha) \cdot \{ \exp(2 k \pi i b) \mid k \in \IZ \}
[/mm]
Muss man jetzt nicht zusätzlich das [mm] \exp(b \alpha) [/mm] betrachten? Weil [mm] b*\alpha [/mm] ist ja wieder irrational! Das würde ja dann immer so weiter gehen...aber muss man das nicht beachten? Das würde dann nicht mehr Lösungen geben, weil man es wiederrum umschreiben kann und zusammenziehen:
[mm] \exp(b* \alpha) [/mm] = [mm] \exp(b*\alpha*log(\exp(1))) [/mm]
und [mm] log(\exp(1)) [/mm] = 1 + [mm] 2*\pi*m*i, [/mm] m [mm] \in \IZ
[/mm]
und somit dann folgt [mm] \exp(b*\alpha*(1 [/mm] + [mm] 2*\pi*m*i)) [/mm] = [mm] \exp(b*\alpha)* \exp(2*\pi*m*i*b*\alpha). [/mm] Wenn jetzt [mm] \alpha [/mm] ebenfalls irrational ist, gibt es dann so nicht noch zusätzliche Lösungen?
Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 So 02.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke sehr wieder einmal! Demfalls läuft man in unendlich
> kleinen Schritten auf dem Einheitskreis und findet immer
> wieder mal einen passenden Wert. Nur ist es ja aber doch
> nicht jeder Punkt auf dem Kreis. Ist noch spannend...
>
> Aber noch was, du schreibst doch:
> ... = [mm]\exp(b \alpha) \cdot \{ \exp(2 k \pi i b) \mid k \in \IZ \}[/mm]
>
> Muss man jetzt nicht zusätzlich das [mm]\exp(b \alpha)[/mm]
> betrachten? Weil [mm]b*\alpha[/mm] ist ja wieder irrational! Das
> würde ja dann immer so weiter gehen...aber muss man das
> nicht beachten? Das würde dann nicht mehr Lösungen geben,
> weil man es wiederrum umschreiben kann und zusammenziehen:
>
> [mm]\exp(b* \alpha)[/mm] = [mm]\exp(b*\alpha*log(\exp(1)))[/mm]
> und [mm]log(\exp(1))[/mm] = 1 + [mm]2*\pi*m*i,[/mm] m [mm]\in \IZ[/mm]
Nein: [mm] $\alpha$ [/mm] ist eine feste Zahl, $b$ ist eine feste Zahl, womit [mm] $\exp(b \alpha)$ [/mm] auch eine feste Zahl ist.
Wenn du einfach [mm] $\log\exp(1)$ [/mm] einbaust, und das ploetzlich Werte [mm] $\neq [/mm] 1$ annehmen soll, aenderst du einach den Wert in der Klammer, was du nicht darfst mit einem Gleichheitszeichen dazwischen.
> und somit dann folgt [mm]\exp(b*\alpha*(1[/mm] + [mm]2*\pi*m*i))[/mm] =
> [mm]\exp(b*\alpha)* \exp(2*\pi*m*i*b*\alpha).[/mm] Wenn jetzt [mm]\alpha[/mm]
> ebenfalls irrational ist, gibt es dann so nicht noch
> zusätzliche Lösungen?
Nein.
LG Felix
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