Potenz gleichschenklig Dreieck < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bei [mm]\gamma[/mm] = 90° gilt der Satz des Pythagoras a² + b² = c²
Bei [mm]\gamma[/mm] = 180° gilt der Satz von Svensson a + b = c
Zeige, dass bei allen gleichschenkligen Dreiecken für [mm]\gamma[/mm] zwischen 60° und 180° gilt:
[mm]a^{x}[/mm] + [mm]b^{x}[/mm] = [mm]c^{x}[/mm]
a) Bestimme die Funktion von [mm]\gamma[/mm] bzw. die Funktion von x
b) Für welches x gilt: [mm]a^{3}[/mm] + [mm]b^{3}= c^{3}[/mm] ?
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Bei [mm]\gamma[/mm] = 90° ist also x=2 (Pythagoras), und bei [mm]\gamma[/mm] = 180° ist x=1 (Svensson).
Interessanter sind aber alle anderen Winkel [mm]\gamma[/mm] zwischen 60° und 180°.
Zu a)
Da es sich um gleichschenkliche Dreiecke handelt, kann man a=b setzen, also
[mm]a^{x}[/mm] + [mm]a^{x}[/mm] = [mm]c^{x}[/mm] oder auch
2*[mm]a^{x}[/mm]= [mm]c^{x}[/mm] beziehungsweise
c = [mm] a*\wurzel[x]{2}
[/mm]
Nach der „klassischen“ Methode berechnet man in einem (gleichschenklichen!) Dreieck den Winkel [mm]\gamma[/mm] nach:
cos [mm]\gamma[/mm] = 1 - [mm] \bruch{c²}{2a²}
[/mm]
Wenn man nun für c Obiges einsetzt, erhält man:
cos [mm]\gamma[/mm]= 1 - [mm]\bruch{\wurzel[x]{4}}{2}[/mm]
und dieses nach x aufgelöst, ergibt:
x = [mm]\bruch{log 4}{log (2 - 2cos \gamma)}[/mm]
Zu b)
Wenn man x=3 einsetzt, erhält man [mm]\gamma[/mm]=78.094°
(P.S.: Der Satz von Pythagoras und der Satz von Svensson werden durch obige Formel übrigens auch bestätigt)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Sa 09.03.2013 | | Autor: | chrisno |
> .....
> [mm]a^{x}[/mm] + [mm]b^{x}[/mm] = [mm]c^{x}[/mm]
>
>
> a) Bestimme die Funktion von [mm]\gamma[/mm] bzw. die Funktion von
> x
> b) Für welches x gilt: [mm]a^{3}[/mm] + [mm]b^{3}= c^{3}[/mm] ?
Wäre das nicht x = 3?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Sa 09.03.2013 | | Autor: | rabilein1 |
> > b) Für welches x gilt: [mm]a^{3}[/mm] + [mm]b^{3}= c^{3}[/mm] ?
> Wäre das nicht x = 3?
Jaja, man muss für x eine 3 in die Formel einsetzen, und dann das [mm] \gamma [/mm] dazu bestimmen.
Naja, eigentlich keine soooo große Kunst, wenn man die Formel bereits hat. Aber die müsste man ja eigentlich erst einmal entwickeln.
Worum es mir bei dem Ganzen eigentlich ging: Bisher hatte ich so eine Formel nirgends gesehen, dabei müsste doch eigentlich irgendjemand in den tausend Jahren Mathematik schon mal darauf gestoßen sein...
(Ist aber wohl ähnlich wie bei Svensson, der sich vorher nur mit Haaren beschäftigt hat - siehe Thread 953719 - und dann auf den Satz von Svensson a+b=c gekommen ist)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Sa 09.03.2013 | | Autor: | chrisno |
Das kam wohl nicht richtig an. Ich vermutete, dass Du schreiben wolltest: Für welches [mm] $\gamma$ [/mm] gilt ...
Nachdem ich den Quellcode gelesen habe, konnte ich die Rechnung nachvollziehen.
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Hallo rabilein1,
du schließt mit diesem Artikel an einen
anderen Thread an, der mit diesem Artikel
begann und dann ziemlich skurrile, aber
durchaus lesenswerte und Lachmuskeln
ertüchtigende und das Gemüt erheiternde
Blüten trieb.
Ich möchte zu deinem neuen Artikel nur
bemerken, dass du mit deiner Beschränkung
auf gleichschenklige Dreiecke und mit dem
damit einhergehenden Übergang von Glei-
chungen der Form [mm] a^n+b^n=c^n [/mm] zu solchen
der Form [mm] 2*a^n=c^n [/mm] eine sehr wesentliche
Einschränkung, damit aber auch eine (wohl
erwünschte) wesentliche Vereinfachung
vornimmst.
Es ist dann gar nicht erstaunlich, dass
man von einem angenommenen Wert für
den Exponenten n aus auch zu einem
jeweils dazu passenden Winkel [mm] \gamma [/mm] für ent-
sprechende gleichschenklige Dreiecke
kommen kann.
In deinem Artikel ist mir nicht klar, wie
du zur Gleichung cos $ [mm] \gamma [/mm] $ = 1 - $ [mm] \bruch{c²}{2a²} [/mm] $
kommst, die so, wie sie hier erscheint,
schlicht falsch ist. Allerdings habe ich noch
herausgefunden, dass sie wohl anders erscheint ,
als du sie gemeint hast. Grund: $\ T_EX$ erkennt
diese (doofen) Tastaturexponenten nicht, die
du beim Schreiben der Formel benützt hast !
Ich würde jedenfalls den Winkel [mm] \gamma [/mm] aus der
Gleichung $\ [mm] sin\left(\frac{\gamma}{2}\right)\ [/mm] =\ [mm] \frac{c}{2\,a}$
[/mm]
berechnen !
LG
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 So 10.03.2013 | | Autor: | rabilein1 |
> Hallo rabilein1,
>
> du schließt mit diesem Artikel an einen anderen Thread an, der mit
> diesem Artikel
>
> begann und dann ziemlich skurrile, aber durchaus lesenswerte und
> Lachmuskeln ertüchtigende und das Gemüt erheiternde Blüten trieb.
Ja, das stimmt. Dieser Artikel brachte mich auch erst auf die Idee mit dem Dreieck.
Also, wenn [mm] a^{1} [/mm] + [mm] b^{1} [/mm] = [mm] c^{1} [/mm] für 180° und [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] = [mm] c^{2} [/mm] für 90° gilt,
ob es dann auch ganz allgemein für alle anderen Winkel ein
[mm] a^{x} [/mm] + [mm] b^{x} [/mm] = [mm] c^{x} [/mm] geben würde.
Das stellte sich dann allerdings als nicht richtig dar, bzw. ist nur dann zutreffend, wenn a=b ist (also für gleichschenklige Dreiecke).
> In deinem Artikel ist mir nicht klar, wie du zur Gleichung
> cos [mm]\gamma[/mm] = 1 - [mm]\bruch{c²}{2a²}[/mm] kommst.
Das muss wirklich mit den Tastatur-Exponenten zusammenhängen. Im Tippfeld erscheint c-Quadrat und a-Quadrat, während für den Leser nur c und a (ohne Quadrat) sichtbar ist.
Übrigens hatte ich zur Überprüfung auch noch einen anderen Weg gewählt und war dann auch auf deine Formel mit dem [mm] sin\left(\frac{\gamma}{2}\right)\ [/mm] gekommen.
Im Endeffekt ist also beides richtig.
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Guten Sonntag allerseits !
Ich habe eine Tabelle erstellt, in welcher für
$\ [mm] n\in\{\,1,2,3,\,.....\,,\,30\,\}$ [/mm] die Winkel [mm] $\mbox{\Large{ \gamma_n }}$ [/mm] (in Grad) der
gleichschenkligen Dreiecke (mit a=b) verzeichnet
sind, in welchen jeweils die Gleichung
$\ [mm] a^n+b^n\ [/mm] =\ [mm] c^n$ [/mm]
also $\ [mm] 2*a^n\ [/mm] =\ [mm] c^n$
[/mm]
erfüllt ist. Man vermutet (und kann leicht zeigen),
dass der Winkel [mm] $\mbox{\Large{ \gamma_n }}$ [/mm] gegen 60° strebt, wenn $n [mm] \to \infty$ [/mm] .
Die betrachteten gleichschenkligen Dreiecke
nähern sich damit dem gleichseitigen Dreieck an.
LG , Al-Chwarizmi
Hier die Tabelle:
n [mm] $\mbox{\Large{ \gamma_n }}$
[/mm]
1 180°
2 90°
3 78.09°
4 72.97°
5 70.11°
6 68.28°
7 67.01°
8 66.08°
9 65.37°
10 64.81°
11 64.35°
13 63.66°
14 63.39°
15 63.15°
16 62.95°
17 62.77°
18 62.61°
19 62.47°
20 62.35°
21 62.23°
22 62.13°
23 62.03°
24 61.95°
25 61.87°
26 61.80°
27 61.73°
28 61.67°
29 61.61°
30 61.55°
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 So 10.03.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
> Ich habe eine Tabelle erstellt, in welcher für
> [mm]\ n\in\{\,1,2,3,\,.....\,,\,30\,\}[/mm] die Winkel
> [mm]\mbox{\Large{ \gamma_n }}[/mm] (in Grad) der
> gleichschenkligen Dreiecke (mit a=b) verzeichnet
> sind, in welchen jeweils die Gleichung
>
> [mm]\ a^n+b^n\ =\ c^n[/mm]
>
> also [mm]\ 2*a^n\ =\ c^n[/mm]
>
> erfüllt ist. Man vermutet (und kann leicht zeigen),
> dass der Winkel [mm]\mbox{\Large{ \gamma_n }}[/mm] gegen 60°
> strebt, wenn [mm]n \to \infty[/mm] .
> Die betrachteten gleichschenkligen Dreiecke
> nähern sich damit dem gleichseitigen Dreieck an.
Ja, das ist auf den zweiten Blick auch nicht so überraschend.
Interessant ist hier auch der umgekehrte Weg.
Für Winkel <60° ergeben sich nämlich negative Exponenten.
Was das wohl für Geometrien wären, wenn man sie verallgemeinern könnte? 
Herzliche Sonntagsgrüße zurück
reverend
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> Interessant ist hier auch der umgekehrte Weg.
> Für Winkel <60° ergeben sich nämlich negative
> Exponenten.
> Was das wohl für Geometrien wären, wenn man sie
> verallgemeinern könnte?
Jaaa ... , das müsste wohl irgendwas Jenseitiges sein ,
entweder im Gefilde der Tachyonen oder in dem der
Cherubim und Konsorten.
Meine Kenntnisse über jene Bereiche sind leider
allzu dürftig, als dass ich da hoffen könnte, mithalten
zu können. Vielleicht findest da du , in deiner Eigenschaft
als Reverend , doch eher Anschlusspunkte ...
Liebe Grüße (und bis bald im "Haus im Grünen" (?))
Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 Mo 11.03.2013 | | Autor: | rabilein1 |
Danke, Al-Chwarizmi, eine so ausführliche Tabelle hatte ich nicht erstellt, aber mir war schon bewusst, dass es so aussehen würde.
Ich hatte das Ganze aber noch insofern erweitert, dass ich nicht nur a=b, sondern a=f*b betrachtet habe, also in welchem Verhältnis die beiden Seiten a und b zueinander stehen.
Bei f=1 (also a=b) hat die Kurve (im Bereich von x=2 bis [mm] \infty [/mm] (also 90° bis 60°) jeweils ihren Tiefpunkt.
(Hinweis: du hast statt x [mm] \in \IR [/mm] immer n [mm] \in \IN [/mm] genommen - warum ?)
Interessanter finde ich allerdings den Bereich von x=1 bis 2 (also 180° bis 90°). Leider stößt mein billiger Taschenrechner da an seine Grenzen, bzw. ich habe da etwas gefunden, das ich mir mathematisch nicht erklären kann.
Aber vielleicht hast du eine Möglichkeit, das etwas genauer zu untersuchen.
Beispielsweise x=1.01 bzw. x=1.5 bzw. x=1.9 (und f=10)
Die Achsen würden sein:
für f nimmt man die x-Achse und für Winkel [mm] \gamma [/mm] die y-Achse
Für die einzelnen "deine n - meine x" -Werte ergeben sich dann die einzelnen Kurven. Wie gesagt bei f=1 sind die Tiefpunkte und bei 90° und 180° sind die Asymptoten (hoffentlich habe ich das verständlich ausgedrückt).
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> Danke, Al-Chwarizmi, eine so ausführliche Tabelle hatte
> ich nicht erstellt, aber mir war schon bewusst, dass es so
> aussehen würde.
>
> Ich hatte das Ganze aber noch insofern erweitert, dass ich
> nicht nur a=b, sondern a=f*b betrachtet habe, also in
> welchem Verhältnis die beiden Seiten a und b zueinander
> stehen.
>
> Bei f=1 (also a=b) hat die Kurve (im Bereich von x=2 bis
> [mm]\infty[/mm] (also 90° bis 60°) jeweils ihren Tiefpunkt.
Aha, das ist ja wieder eine etwas neue Betrachtungsweise,
wieder erweitert gegenüber der Annahme a=b .
> (Hinweis: du hast statt x [mm]\in \IR[/mm] immer n [mm]\in \IN[/mm] genommen
> - warum ?)
Na ja, ich habe mich halt noch ein bisschen an die
ganzzahligen Exponenten, wie eben bei Pythagoras
und bei Fermat, geklammert. Man kann aber die
Überlegungen ohne Weiteres auch mit [mm] n\in\IR
[/mm]
machen und dann meinetwegen ein Symbol wie x
an die Stelle von n setzen.
> Interessanter finde ich allerdings den Bereich von x=1 bis
> 2 (also 180° bis 90°). Leider stößt mein billiger
> Taschenrechner da an seine Grenzen, bzw. ich habe da etwas
> gefunden, das ich mir mathematisch nicht erklären kann.
>
> Aber vielleicht hast du eine Möglichkeit, das etwas
> genauer zu untersuchen.
> Beispielsweise x=1.01 bzw. x=1.5 bzw. x=1.9 (und f=10)
>
> Die Achsen würden sein:
> für f nimmt man die x-Achse und für Winkel [mm]\gamma[/mm] die
> y-Achse
>
> Für die einzelnen "deine n - meine x" -Werte ergeben sich
> dann die einzelnen Kurven. Wie gesagt bei f=1 sind die
> Tiefpunkte und bei 90° und 180° sind die Asymptoten
> (hoffentlich habe ich das verständlich ausgedrückt).
Ich werde mal versuchen, mich da hineinzudenken und
allenfalls etwas beitragen zu können !
LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Di 12.03.2013 | | Autor: | rabilein1 |
> > Ich habe da etwas gefunden, das ich mir mathematisch nicht erklären kann.
Also, was ich damit meine ist folgendes:
Für n=1 (also [mm] a^{1} [/mm] + [mm] b^{1} [/mm] = [mm] c^{1}) [/mm] haben wir eine Parallele zur f-Achse in Höhe von [mm] \gamma=180° [/mm]
Für n=2 (also [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] = [mm] c^{2}) [/mm] haben wir eine Parallele zur f-Achse in Höhe von [mm] \gamma=90°
[/mm]
Für alle Werte von 1 < n < 2 muss bei f=1 ein Extremwert (entweder Hoch-oder Tiefpunkt - das weiß ich jetzt nicht) sein.
Und jetzt frage ich mich: Wie sollen dann die Kurven aussehen? Zum Beispiel für n=1.01 oder n=1.5 oder n=1.99 ???
Was passiert da am "Rand", also bei f=0.0001 bzw. f gegen [mm] \infty [/mm] ???
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> > > Ich habe da etwas gefunden, das ich mir mathematisch nicht
> > > erklären kann.
>
> Also, was ich damit meine ist folgendes:
> Für n=1 (also [mm]a^{1}[/mm] + [mm]b^{1}[/mm] = [mm]c^{1})[/mm] haben wir eine
> Parallele zur f-Achse in Höhe von [mm]\gamma=180°[/mm]
>
> Für n=2 (also [mm]a^{2}[/mm] + [mm]b^{2}[/mm] = [mm]c^{2})[/mm] haben wir eine
> Parallele zur f-Achse in Höhe von [mm]\gamma=90°[/mm]
>
> Für alle Werte von 1 < n < 2 muss bei f=1 ein Extremwert
> (entweder Hoch-oder Tiefpunkt - das weiß ich jetzt nicht)
> sein.
>
> Und jetzt frage ich mich: Wie sollen dann die Kurven
> aussehen? Zum Beispiel für n=1.01 oder n=1.5 oder n=1.99
> ???
>
> Was passiert da am "Rand", also bei f=0.0001 bzw. f gegen
> [mm]\infty[/mm] ???
Hallo rabilein1,
mir ist jetzt doch nicht mehr so recht klar, was für
Kurven du nun genau suchen willst.
Ich möchte einmal eine Übersicht über alle vor-
kommenden Objekte und Bezeichnungen erstellen:
Wir betrachten ebene (euklidische !) Dreiecke ABC
mit den Seitenlängen a,b,c und dem Winkel [mm] \gamma [/mm] (bei C).
Zusätzlich haben wir zwei Parameter f und n. Dabei
steht f einfach für das Verhältnis der "Pseudokatheten" :
(1) $\ [mm] f\,:=\ \frac{a}{b}$
[/mm]
n ist der Exponent für die "Fermagoras-Gleichung"
(2) $\ [mm] a^n\,+\,b^n\ [/mm] =\ [mm] c^n$ [/mm] .
n muss nicht ganzzahlig sein, sondern kann im Prinzip
beliebige reelle Werte annehmen (vorerst bleiben wir
aber wohl bescheidenerweise einmal bei positiven n ...).
Durch die Einführung des Faktors f mittels Gleichung (1)
können wir z.B. auf das a in den Rechnungen einfach
verzichten und haben dann noch die Variablen
b, f, c, [mm] \gamma [/mm] und den Parameter n. Mittels Cosinussatz
(3) $\ [mm] (f*b)^2\,+\,b^2\,-\,2*f*b^2\,cos(\gamma)\ [/mm] =\ [mm] c^2$
[/mm]
können wir eine weitere Variable eliminieren.
Irgendwie haben wir aber immer noch wenigstens eine
Variable zuviel, um bestimmte Kurven zeichnen
zu können.
Wenn ich richtig verstanden habe, möchtest du zu
jedem konkret gewählten n-Wert (z.B. n=1.5) eine
Kurve mit einer Gleichung der Form
[mm] $\gamma\ [/mm] =\ [mm] \gamma_n(f)$
[/mm]
zeichnen. Dazu sollten wir eine Gleichung haben, in
welcher außer [mm] \gamma [/mm] und f nur noch der (für jede
einzelne Kurve feste) Parameter n vorkommt.
Es zeigt sich aber, dass sich eine Variable (das b) ohnehin
noch aus der Rechnung herauskürzt. Dies liegt daran,
dass es im Cosinussatz eigentlich nicht auf die absoluten
Längen der Seiten a,b,c, sondern nur auf deren Verhält-
nisse ankommt (Stichwort Ähnlichkeit).
Mit diesen Betrachtungen habe ich die obigen Gleichungen
mal kombiniert und etwas umgeformt und komme zur Gleichung:
[mm] $\mbox{\Large{\gamma}}\ [/mm] =\ [mm] arccos\left(\frac{f^2+1-\left(f^n+1 \right)^{2/n}}{2\,f} \right)$
[/mm]
LG , Al
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Hallo rabilein1,
ich wollte jetzt ein paar dieser Graphen auch noch
angucken und habe sie deshalb dargestellt, nach der
oben hergeleiteten Formel:
[mm]\mbox{\Large{\gamma}}\ =\ arccos\left(\frac{f^2+1-\left(f^n+1 \right)^{2/n}}{2\,f} \right)[/mm]
In der Grafik zeigt die f - Achse nach rechts und die
[mm] $\mbox{\Large{\gamma}}$ [/mm] - Achse nach oben.
Dargestellt sind die Kurven für
$\ [mm] n\in\{\,1\,,\,1.01\,,\,1.07\,,\,1.2\,,\,1.5\,,\,2\,,\,3\,,\,8\,,\,1000\,\}$ [/mm] (von oben nach unten)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für n=1 und n=2 ergeben sich die waagrechten Linien
bei [mm] $\gamma\ [/mm] =\ [mm] \pi$ [/mm] ( = 180°) und bei [mm] $\gamma\ [/mm] =\ [mm] \pi/2$ [/mm] ( = 90°)
Die übrigen Kurven haben an der Stelle f=1 (oder
wenigstens so dort in der Nähe ...) einen
(sehr flachen) Hochpunkt , wenn 1<n<2 , und einen
Tiefpunkt, wenn n>2 .
Für sehr große n streben die Kurven einer Grenzkurve
entgegen, welche an dieser Stelle f=1 einen Knick hat.
Die unterste gezeichnete Kurve (mit n=1000) gibt
diese Grenzkurve im Rahmen der Zeichengenauigkeit
(Pixel) praktisch schon genau wieder.
So, dies sind wohl die Kurven, die du gesucht hast.
Ob sie auch wirklich irgendeinen praktischen Wert
haben, steht aber auf einem Blatt, das noch nicht
geschrieben ist ...
LG , Al
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:35 Mi 13.03.2013 | | Autor: | rabilein1 |
Hallo Al-Chwarizmi,
genau das sind die Kurven. die ich meinte. So hatte ich die auch raus. Aber ich konnte irgendwie nicht glauben, dass die Kurven links (und rechts) so "mitten drin" anfangen und aufhören.
Naja, vielleicht fangen sie auch bei 90° an und hören im Unendlichen dort auf, und man kann das nur nicht so gut zeichnen.
Aber selbst dann ist es "seltsam":
Denn für n=1 fängt die Kurve ja hinsichtlich f=0.00...001 bei 180° an.
Wenn sie bei n=1.00...001 allerdings bei 90° beginnt, dann würde es zwischen n=1 und n=1.00...001 ja bei f=0.00...001 so etwas wie einen "mathematischen Quantensprung" geben.
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> genau das sind die Kurven. die ich meinte. So hatte ich die
> auch raus. Aber ich konnte irgendwie nicht glauben, dass
> die Kurven links (und rechts) so "mitten drin" anfangen und
> aufhören.
>
> Naja, vielleicht fangen sie auch bei 90° an und hören im
> Unendlichen dort auf, und man kann das nur nicht so gut
> zeichnen.
>
>
> Aber selbst dann ist es "seltsam":
> Denn für n=1 fängt die Kurve ja hinsichtlich f=0.00...001
> bei 180° an.
>
> Wenn sie bei n=1.00...001 allerdings bei 90° beginnt, dann
> würde es zwischen n=1 und n=1.00...001 ja bei f=0.00...001
> so etwas wie einen "mathematischen Quantensprung" geben.
Schön. Nur muss man ja schon zugeben, dass Dreiecke
mit f=0 und mit [mm] f=\infty [/mm] ohnehin "aus der Reihe tanzen",
denn bei ihnen ist eine Seite zu einem Punkt zusammen-
geschrumpft - es handelt sich also nicht mehr um eigentliche
Dreiecke.
In der Mathematik spricht man da eher von einer "Singularität"
als von einem "Quantensprung".
Übrigens ist "Quantensprung" keineswegs ein Ausdruck, den
die Physik für sich gepachtet hat, sondern es handelt sich
dabei um einen Begriff, der im Rahmen der mathematischen
Auseinandersetzung mit physikalischen Phänomenen
geprägt wurde. So nebenbei: der Ausdruck ist in der Fach-
welt eigentlich schon längst wieder aus der Mode gekommen,
erfreut sich aber blühender Vitalität in der pseudowissen-
schaftlichen Welt und in der durch die Medien geprägten
Sprache.
Aus dem Wikipedia-Artikel:
Der Begriff Quantensprung wurde ursprünglich geprägt,
weil man ein Wort brauchte, um ein neu entdecktes
Phänomen zu benennen. Einige Physiker, z. B.
Schrödinger, lehnten den Begriff aber ab, da er die
falsche Vorstellung eines instantanen Übergangs
suggeriert. Korrekt ist hingegen die Vorstellung,
dass der Übergang zwar eine endliche Zeit benötigt,
über den Zustand des Systems während dieser Zeit
aber grundsätzlich nichts ausgesagt werden kann.
Heute wird das Wort Quantensprung in der physi-
kalischen Fachsprache kaum noch benutzt.
Man spricht allgemein von Übergängen.
LG, Al-Chw.
Der Fall f=0
Betrachten wir doch einmal noch speziell den (Grenz-)
Fall mit $\ [mm] f\,=\,0$ [/mm] . Wegen $\ a\ =\ f*b$ muss dann $\ [mm] a\,=\,0\,$ [/mm] sein.
Zwangsläufig muss dann unabhängig von einem
theoretisch gewählten [mm] \gamma [/mm] die Gleichung $\ [mm] b\,=\,c\,$
[/mm]
gelten, und die Gleichung $\ [mm] a^n+b^n\ [/mm] =\ [mm] c^n$ [/mm] reduziert sich
zu $\ [mm] b^n\ [/mm] =\ [mm] c^n$ [/mm] , was wegen $\ [mm] b\,=\,c\,$ [/mm] natürlich für
jedes beliebige n erfüllt ist. In der Grafik könnte man
also die vertikale [mm] \gamma [/mm] - Achse ohne Weiteres auch
(und zwar für jedes beliebige n) zum Graph der darzu-
stellenden Funktionen bzw. Relationen dazu nehmen.
Damit würde der vermeintliche "Quantensprung" an der
Stelle f=0 gewissermaßen überbrückt ...
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(Datei korrigiert)
 Al-Chwarizmi
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> [mm]\mbox{\Large{\gamma}}\ =\ arccos\left(\frac{f^2+1-\left(f^n+1 \right)^{2/n}}{2\,f} \right)[/mm]
>
> In der Grafik zeigt die f - Achse nach rechts und die
> [mm]\mbox{\Large{\gamma}}[/mm] - Achse nach oben.
> Dargestellt sind die Kurven für
>
> [mm]\ n\in\{\,1\,,\,1.01\,,\,1.07\,,\,1.2\,,\,1.5\,,\,2\,,\,3\,,\,8\,,\,1000\,\}[/mm]
> (von oben nach unten)
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Bemerkung:
Eigentlich würde es genügen, die Kurven im
Intervall (0 ..... 1] darzustellen, denn es gilt
[mm] $\mbox{\Large{\gamma}}(f)\ [/mm] =\ [mm] \mbox{\Large{\gamma}}\left(\frac{1}{f}\right)$
[/mm]
Diese Symmetrie würde graphisch deutlicher,
wenn man auf der horizontalen Achse nicht die
Werte von f , sondern die von log(f) abtragen
würde (logarithmische Skala).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aufgrund dieser Symmetrie wird ebenfalls klar,
dass die Hoch- bzw. Tiefpunkte der einzelnen
Kurven (für 1<n<2 bzw. für n>2) in der ersten
Zeichnung wirklich an der Stelle f=1 liegen
müssen, denn in der Darstellung mit
logarithmischer Skala liegen sie natürlich an
der Stelle f mit log(f)=0 .
LG , Al-Chwarizmi
Nachtrag:
reverend hat in einem Beitrag angeregt,
auch negative n als Exponenten zuzulassen.
Zusammen mit einigen Kurven (blau dargestellt)
für negative n ergibt sich folgendes Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und zum Schluss würde sich für alle, die bis hier
mitgekommen sind, also für alle "geneigten" , aber
in erster Linie geeigneten Leserinnen und Leser,
folgende Übungsaufgabe anbieten:
| Aufgabe | 1.) Beweise die Formel $ [mm] \mbox{\Large{\gamma}}(n,f)\ [/mm] =\ [mm] arccos\left(\frac{f^2+1-\left(f^n+1 \right)^{2/n}}{2\,f} \right) [/mm] $
2.) Zeige, dass $ [mm] \mbox{\Large{\gamma}}(n,f)\ [/mm] =\ [mm] \mbox{\Large{\gamma}}\left(n,\frac{1}{f}\right)$ [/mm] |
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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