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| Aufgabe | | [mm] \vmat{ a^{z} }=a^{Re(z)} [/mm] für z komplex und a reell positiv |
Hallo zusammen,
ich löse gerade eine Aufgabe, wo ich eine komplexe Potenzreihe abschätzen muss. Ich habe den Beweis geschafft, aber ich habe dabei das Potenzgesetz von oben benützt. Mir ist intuitiv gar nicht klar wieso dieses Potenzgesetz gilt und ich habe es nicht geschafft sofort herzuleiten...
Kann mir jemand kurz die Herleitung oder einen Link im Internet für den Beweis geben?
Vielen Dank
GorkyPark
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Di 18.03.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]\vmat{ a^{z} }=a^{Re(z)}[/mm] für z komplex und a reell positiv
> Hallo zusammen,
>
> ich löse gerade eine Aufgabe, wo ich eine komplexe
> Potenzreihe abschätzen muss. Ich habe den Beweis geschafft,
> aber ich habe dabei das Potenzgesetz von oben benützt. Mir
> ist intuitiv gar nicht klar wieso dieses Potenzgesetz gilt
> und ich habe es nicht geschafft sofort herzuleiten...
>
> Kann mir jemand kurz die Herleitung oder einen Link im
> Internet für den Beweis geben?
Schreibe:
$ [mm] a^z= \mathrm{e}^{z\ln a} [/mm] $
und zerlege z in Real- und Imaginärteil.
Viele Grüße
Rainer
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Hey!
Danke für die blitzschnelle Antwort. Ja soweit war ich schon, aber ich weiss dann nicht weiter:
[mm] \vmat{ exp(x*ln(a)) } [/mm] * [mm] \vmat{ exp(iy*ln(a)) } [/mm] = [mm] a^{Re(z)}
[/mm]
Aber wieso ist der zweite Faktor 1 und wieso liefert der erste Faktor das gewünschte Ergebnis?
Bis gleich, bald!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Di 18.03.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für die blitzschnelle Antwort. Ja soweit war ich
> schon, aber ich weiss dann nicht weiter:
>
> [mm]\vmat{ exp(x*ln(a)) }[/mm] * [mm]\vmat{ exp(iy*ln(a)) }[/mm] = [mm]a^{Re(z)}[/mm]
>
> Aber wieso ist der zweite Faktor 1
Weil a reell und positiv ist, ist [mm] $y*\ln [/mm] a$ auch reell. Und was ist der Betrag von [mm] $\mathrm{e}^{iu}$ [/mm] für reelles u?
> und wieso liefert der
> erste Faktor das gewünschte Ergebnis?
$ exp(x*ln(a)) = [mm] a^x [/mm] = [mm] a^{\mathrm{Re} z}$
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Di 18.03.2008 | | Autor: | GorkyPark |
Hi!
Du bist ein gescheiter Kerl :D
Wir befinden uns ja auf dem Einheitskreis und darum ist der Betrag gleich 1!
Der erste Faktor ergibt das Ergebnis!
Vielen Dank Raini!
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