Potential aus Vektorfeld < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
Hallo,
ich möchte aus einem einfachen Vektorfeld ein Potential [mm] \Phi [/mm] berechnen.
[mm] \vec{A}(\vec{r})=\vektor{y \\ x \\0}
[/mm]
[mm] \nabla \times \vec{A}(\vec{r}) [/mm] = 0 als existiert [mm] \Phi
[/mm]
Es ist ja [mm] \vec{A}(\vec{r})=\nabla \Phi(\vec{r}), [/mm] also [mm] \Phi(\vec{r})=\integral_{}^{}{\vec{A}(\vec{r}) d\vec{r}}
[/mm]
Somit [mm] \Phi(\vec{r})=\integral_{}^{}{\vektor{y \\ x \\0}\vektor{dx \\ dy \\ dz}}=\integral_{}^{}{(ydx+xdy+0dz)}=\integral_{}^{}{ydx}\integral_{}^{}{xdy}=xy+xy=2xy
[/mm]
Nach der Musterlösung soll nur xy rauskommen.
Wo ist mein Fehler? Habe ich die Formel falsch nach [mm] \Phi [/mm] umgestellt?
Gruß LordPippin
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Mo 05.09.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo,
> ich möchte aus einem einfachen Vektorfeld ein Potential
> [mm]\Phi[/mm] berechnen.
> [mm]\vec{A}(\vec{r})=\vektor{y \\ x \\0}[/mm]
> [mm]\nabla \times \vec{A}(\vec{r})[/mm]
> = 0 als existiert [mm]\Phi[/mm]
richtig.
> Es ist ja [mm]\vec{A}(\vec{r})=\nabla \Phi(\vec{r}),[/mm] also
> [mm]\Phi(\vec{r})=\integral_{}^{}{\vec{A}(\vec{r}) d\vec{r}}[/mm]
>
> Somit [mm]\Phi(\vec{r})=\integral_{}^{}{\vektor{y \\ x \\0}\vektor{dx \\ dy \\ dz}}=\integral_{}^{}{(ydx+xdy+0dz)}=\integral_{}^{}{ydx}\integral_{}^{}{xdy}=xy+xy=2xy[/mm]
Du musst jede Komponente nach der jeweiligen Variable einzeln integrieren, dann erhältst Du zu jeder Integration eine Integrationskonstante, die von den jeweils anderen Variablen abhängt. Diese Konstante musst Du dann so bestimmen, dass [mm] $\nabla \Phi(\vec{r})= \vec{A}(\vec{r})$ [/mm] gilt.
>
> Nach der Musterlösung soll nur xy rauskommen.
>
> Wo ist mein Fehler? Habe ich die Formel falsch nach [mm]\Phi[/mm]
> umgestellt?
>
> Gruß LordPippin
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
Hallo notinX, vielen Dank für deine Hilfe.
Wenn ich komponentenweise integriere komme ich auf Folgendes
[mm] \vektor{xy+c(y)\\xy+c(x)\\0} [/mm] die Integrationskonstante wäre ja von der jeweils anderen Variable abhängig, da z=0 eben nur von x bzw. y.
Nun leite ich z.B. die x-Komponente nach y ab und setze es mit der y-Komponente des Vektorfeldes gleich um c(y) zu erhalten
[mm] \Rightarrow [/mm] x+c'(y)=x [mm] \Rightarrow [/mm] c'(y)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] c(y)=0
Das gleiche um c(x) zu erhalten und man beommt als Ergebnis [mm] \Phi=xy
[/mm]
Wäre das so richtig?
Gruß LordPippin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Di 06.09.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo nochmal,
> Hallo notinX, vielen Dank für deine Hilfe.
>
> Wenn ich komponentenweise integriere komme ich auf
> Folgendes
> [mm]\vektor{xy+c(y)\\xy+c(x)\\0}[/mm] die Integrationskonstante
> wäre ja von den jeweils anderen Variablen abhängig, da z=0
> eben nur von x bzw. y.
[mm] $\left(\begin{array}{c}
xy+c(y,{\color{red}z})\\
xy+c(x,{\color{red}z})\\
{\color{red}c(x,y)}\end{array}\right)$
[/mm]
> Nun leite ich z.B. die x-Komponente nach y ab und setze es
> mit der y-Komponente des Vektorfeldes gleich um c(y) zu
> erhalten
> [mm]\Rightarrow[/mm] x+c'(y)=x [mm]\Rightarrow[/mm] c'(y)=0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> c(y)=0
> Das gleiche um c(x) zu erhalten und man beommt als
> Ergebnis [mm]\Phi=xy[/mm]
>
> Wäre das so richtig?
Probier es aus. Wenn $ [mm] \nabla \Phi(\vec{r})= \vec{A}(\vec{r}) [/mm] $ gilt, stimmts.
>
> Gruß LordPippin
Gruß,
notinX
|
|
|
|
