Positiv semidefinit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:06 Do 05.01.2012 | | Autor: | mili03 |
| Aufgabe | | Für welche [mm] t\in\IR [/mm] ist [mm] A=\pmat{1&t&t\\t&1&t\\t&t&1} [/mm] positiv semidefinit? |
Hallo,
Für [mm] y=(y_1,y_2,y_3)\in\IR^3 [/mm] soll gelten:
[mm] y^TAy=\sum_{i=1}^3y_i^2+2t(y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3)\ge0.
[/mm]
Durch Einsetzen von y=(c,c,c) und y=(c,c,-c), [mm] c\neq0, [/mm] habe ich schon [mm] -1/2\le t\le3/2 [/mm] erhalten. Ich vermute, dass A nur für t=0 positiv semidefinit ist.
Hat jemand eine Idee, dies zu bestätigen oder zu widerlegen?
Danke &Gruß,
mili
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moin,
Dieser Satz dürfte dir einiges helfen:
Sei $A [mm] \in \IR^{n \times n}$ [/mm] eine symetrische Matrix.
Dann ist äquivalent:
1. A ist positiv semidefinit.
2. Betrachtet man eine beliebige Teilmenge der Menge [mm] $\{1, \cdots , n\}$ [/mm] und wählt sich genau diese Zeilen und Spalten aus so ist die Determinante der so gewählten Matrix [mm] $\geq$ [/mm] 0.
Der Satz erinnert vielleicht leicht an Hurwitz, aber bedenkte, das dort nur die Hauptabschnittsdeterminanten gefordert waren; in obiger Äquivalenz ist mehr gefordert.
Berechnest du für deine Matrix nun alle Unterdeterminanten so wirst du feststellen, dass viele identisch sind.
De facto bleiben nur noch drei Stück übrig (von denen auch noch eine langweilig ist^^).
Solltest du diesen oder einen ähnlichen Satz noch nicht gehabt haben so wäre es mal interessant zu wissen, was du bisher überhaupt zur Verfügung hast, um Semidefinitheit zu zeigen.
Dein Intervall ist zwar schon verdammt nahe drann, aber selbst wenn du durch Zufall oder geschicktes Ausprobieren auf das richtige Intervall stoßen solltest bleibt es doch kompliziert zu beweisen, dass dieses wirklich richtig ist - so lange du keine Sätze dafür hast.
lg
Schadow
PS: Damit du nicht denkst 0 sei die einzige Lösung: Was wäre etwa mit t=1?
und noch eins:
Obige Äquivalenz gilt auch für $A [mm] \in \IC^{n \times n}$ [/mm] hermitesch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:13 Do 05.01.2012 | | Autor: | mili03 |
Hallo,
vielen Dank.
Mit deinem Satz muss ich die Determinanten von (1), [mm] B=\pmat{1&t\\t&1}, C=\pmat{1&t&t\\t&1&t\\t&t&1} [/mm] auf nichtnegativität überprüfen.
[mm] \det B=1-t^2 \Rightarrow |t|\le1
[/mm]
[mm] \det C=1+2t^3-3t^2 \Rightarrow t\ge\frac{-1}{2}.
[/mm]
Damit bleibt also [mm] -1/2\le t\le [/mm] 1 übrig.
Stimmt das so?
Gruß
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> Hallo,
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> vielen Dank.
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> Mit deinem Satz muss ich die Determinanten von (1),
> [mm]B=\pmat{1&t\\t&1}, C=\pmat{1&t&t\\t&1&t\\t&t&1}[/mm] auf
> nichtnegativität überprüfen.
>
> [mm]\det B=1-t^2 \Rightarrow |t|\le1[/mm]
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> [mm]\det C=1+2t^3-3t^2 \Rightarrow t\ge\frac{-1}{2}.[/mm]
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> Damit bleibt also [mm]-1/2\le t\le[/mm] 1 übrig.
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> Stimmt das so?
>
> Gruß
Jo, das passt so.
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