Positiv definite Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Mi 09.01.2013 | | Autor: | grasimu |
| Aufgabe | Seien K [mm] \in {\IR,\IC}, [/mm] n [mm] \in \IN_{\ge1} [/mm] und A [mm] \in M_{n}(K) [/mm] positiv definit(also per Definition auch symmetrisch bzw. hermitesch). Zeigen Sie:
a) Jeder Eigenwert von A ist reell und positiv.
b) det A > 0. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
a) Wie bestimme ich die Eigenwerte von A?
b) Für eine nxn Matrix mit n = 2 errechne ich die Determinante indem ich det A = [mm] a_{1,1}a_{2,2} [/mm] - [mm] a_{1,2}a_{2,1} [/mm] rechne. Aber warum ist dies immer > 0 ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Mi 09.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Seien K [mm]\in {\IR,\IC},[/mm] n [mm]\in \IN_{\ge1}[/mm] und A [mm]\in M_{n}(K)[/mm]
> positiv definit(also per Definition auch symmetrisch bzw.
> hermitesch). Zeigen Sie:
> a) Jeder Eigenwert von A ist reell und positiv.
> b) det A > 0.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> a) Wie bestimme ich die Eigenwerte von A?
Bestimmen sollst Du sie nicht. Du sollst zeigen , dass sie >0 sind.
Sei <*,*> das übliche Skalarprodukt auf [mm] \IR^n [/mm] (bzw. [mm] \IC^n)
[/mm]
Sei [mm] \mu [/mm] ein Eigenwert von A und x ein zugeh. Eigenvektor, also x [mm] \ne [/mm] 0 und [mm] Ax=\mu [/mm] x. Wir können ||x||=1 annehmen, also [mm] =||x||^2=1
[/mm]
Weil A positiv definit ist, ist <Ax,x> >0
Weil [mm] \mu [/mm] ein EW von A ist und x ein zugeh. EV ist, haben wir: [mm] $=<\mux,x>= \mu [/mm] <x,x>$
Hilft das ?
>
> b) Für eine nxn Matrix mit n = 2 errechne ich die
> Determinante indem ich det A = [mm]a_{1,1}a_{2,2}[/mm] -
> [mm]a_{1,2}a_{2,1}[/mm] rechne. Aber warum ist dies immer > 0 ?
Nutze die Symmetrie von A : [mm] a_{12} =a_{21} [/mm] und die Tatsache , dass A pos. def. ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mi 09.01.2013 | | Autor: | grasimu |
> > Seien K [mm]\in {\IR,\IC},[/mm] n [mm]\in \IN_{\ge1}[/mm] und A [mm]\in M_{n}(K)[/mm]
> > positiv definit(also per Definition auch symmetrisch bzw.
> > hermitesch). Zeigen Sie:
> > a) Jeder Eigenwert von A ist reell und positiv.
> > b) det A > 0.
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > a) Wie bestimme ich die Eigenwerte von A?
>
> Bestimmen sollst Du sie nicht. Du sollst zeigen , dass sie
> >0 sind.
>
>
>
> Sei <*,*> das übliche Skalarprodukt auf [mm]\IR^n[/mm] (bzw.
> [mm]\IC^n)[/mm]
>
> Sei [mm]\mu[/mm] ein Eigenwert von A und x ein zugeh. Eigenvektor,
> also x [mm]\ne[/mm] 0 und [mm]Ax=\mu[/mm] x. Wir können ||x||=1 annehmen,
> also [mm]=||x||^2=1[/mm]
>
> Weil A positiv definit ist, ist <Ax,x> >0
>
> Weil [mm]\mu[/mm] ein EW von A ist und x ein zugeh. EV ist, haben
> wir: [mm]=<\mux,x>= \mu [/mm]
>
> Hilft das ?
>
Bestimmt!Muss ich mir aber nochmal genau überlegen, komme darauf vielleicht nochmal zurück.
> >
> > b) Für eine nxn Matrix mit n = 2 errechne ich die
> > Determinante indem ich det A = [mm]a_{1,1}a_{2,2}[/mm] -
> > [mm]a_{1,2}a_{2,1}[/mm] rechne. Aber warum ist dies immer > 0 ?
>
> Nutze die Symmetrie von A : [mm]a_{12} =a_{21}[/mm] und die Tatsache
> , dass A pos. def. ist.
>
> FRED
>
Ja aber gerade da die Matrix symmetrisch ist habe ich für [mm] a_{12}*a_{21} [/mm] immer eine positive Zahl sprich in der Berechnung eine negative Zahl.
Angenommen wir nehmen uns A = [mm] \pmat{ 1 & 5 \\ 5 & 2 } [/mm] folgt für det A = 2 - 25 = -23 also nicht > 0!
Oder habe ich da was nicht richtig im Kopf?
gruß Grasimu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Mi 09.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Seien K [mm]\in {\IR,\IC},[/mm] n [mm]\in \IN_{\ge1}[/mm] und A [mm]\in M_{n}(K)[/mm]
> > > positiv definit(also per Definition auch symmetrisch bzw.
> > > hermitesch). Zeigen Sie:
> > > a) Jeder Eigenwert von A ist reell und positiv.
> > > b) det A > 0.
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> > >
> > > a) Wie bestimme ich die Eigenwerte von A?
> >
> > Bestimmen sollst Du sie nicht. Du sollst zeigen , dass sie
> > >0 sind.
> >
> >
> >
> > Sei <*,*> das übliche Skalarprodukt auf [mm]\IR^n[/mm] (bzw.
> > [mm]\IC^n)[/mm]
> >
> > Sei [mm]\mu[/mm] ein Eigenwert von A und x ein zugeh. Eigenvektor,
> > also x [mm]\ne[/mm] 0 und [mm]Ax=\mu[/mm] x. Wir können ||x||=1 annehmen,
> > also [mm]=||x||^2=1[/mm]
> >
> > Weil A positiv definit ist, ist <Ax,x> >0
> >
> > Weil [mm]\mu[/mm] ein EW von A ist und x ein zugeh. EV ist, haben
> > wir: [mm]=<\mux,x>= \mu [/mm]
> >
> > Hilft das ?
> >
> Bestimmt!Muss ich mir aber nochmal genau überlegen, komme
> darauf vielleicht nochmal zurück.
>
> > >
> > > b) Für eine nxn Matrix mit n = 2 errechne ich die
> > > Determinante indem ich det A = [mm]a_{1,1}a_{2,2}[/mm] -
> > > [mm]a_{1,2}a_{2,1}[/mm] rechne. Aber warum ist dies immer > 0 ?
> >
> > Nutze die Symmetrie von A : [mm]a_{12} =a_{21}[/mm] und die Tatsache
> > , dass A pos. def. ist.
> >
> > FRED
> >
> Ja aber gerade da die Matrix symmetrisch ist habe ich für
> [mm]a_{12}*a_{21}[/mm] immer eine positive Zahl sprich in der
> Berechnung eine negative Zahl.
> Angenommen wir nehmen uns A = [mm]\pmat{ 1 & 5 \\ 5 & 2 }[/mm]
> folgt für det A = 2 - 25 = -23 also nicht > 0!
> Oder habe ich da was nicht richtig im Kopf?
Dieses A ist nicht positiv def. !
FRED
>
> gruß Grasimu
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