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| Aufgabe | | Finden Sie ein von Null verschiedenes Polynom f vom Grad kleiner als 4, das die Gleichungen f [mm] \equiv [/mm] −8x−3 mod [mm] (x+1)^2 [/mm] und f [mm] \equiv [/mm] −21x−23 mod [mm] (x+2)^2 [/mm] erfüllt. Wie lautet die Summe der Koeffizienten von f? |
Hallo. Ich muss paar von dieses Aufgaben rechnen, deswalb wäre es sehr nett, wenn mir jemand sagen würde wie dieses beispiel hier funktioniert, also wie man das rechnet, denn das ergebnis ist 1, aber ich komm da irgendwie nicht drauf.
bedanke mich schon mal im voraus.
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Sa 22.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Finden Sie ein von Null verschiedenes Polynom f vom Grad
> kleiner als 4, das die Gleichungen [mm]f \equiv -8x-3 \bmod (x+1)^2[/mm]
> und [mm]f\equiv-21x-23 \bmod (x+2)^2[/mm] erfüllt. Wie lautet die
> Summe der Koeffizienten von f?
> Hallo. Ich muss paar von dieses Aufgaben rechnen, deswalb
> wäre es sehr nett, wenn mir jemand sagen würde wie dieses
> beispiel hier funktioniert, also wie man das rechnet, denn
> das ergebnis ist 1, aber ich komm da irgendwie nicht
> drauf.
Du setzt das Polynom allgemein an: [mm]a_3 x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/mm] und dividierst durch [mm](x+1)^2[/mm]. Der Rest der Polynomdivision muss [mm]-8x-21[/mm] sein; das gibt dir zwei Gleichungen für die Koeffizienten. Das Gleiche gilt machst du für [mm](x+2)^2[/mm]. Dann hast du 4 lineare Gleichungen für die 4 Unbekannten, die du einfach löst.
Die Summe der Koeffizienten ist in der Tat 1.
Wenn dir das noch nicht hilft, dann poste mal, was du gerechnet hast.
Viele Grüße
Rainer
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Hi, irgendwie hat das doch nicht so gut geklappt, ich habe es so versucht, wie du es mir geschrieben hast.
[mm] a_3 x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 [/mm] : [mm] x^2+2x+1, [/mm] so hier kriege ich irgendwie nichts vernüftiges raus, habe aber vorher auch [mm] (x+1)^2 [/mm] nach Binomi aufgelöst. Als ich habe sowas rausbekommen
[mm] a_3 x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 [/mm] : [mm] x^2+2x+1 [/mm] = [mm] a_3 x-2a_3+a_3/x [/mm] - [mm] 2a_3/x^2 [/mm] ...
führt irgendwie auf kein gutes ergebnis, oder habe ich es falsch gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Sa 22.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi, irgendwie hat das doch nicht so gut geklappt, ich habe
> es so versucht, wie du es mir geschrieben hast.
>
> [mm]a_3 x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/mm] : [mm]x^2+2x+1,[/mm] so hier kriege ich
> irgendwie nichts vernüftiges raus, habe aber vorher auch
> [mm](x+1)^2[/mm] nach Binomi aufgelöst. Als ich habe sowas
> rausbekommen
>
> [mm]a_3 x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/mm] : [mm]x^2+2x+1[/mm] = [mm]a_3 x-2a_3+a_3/x[/mm] - [mm]2a_3/x^2[/mm] ...
>
> führt irgendwie auf kein gutes ergebnis, oder habe ich es
> falsch gemacht?
Der erste Term ist richtig, aber ab dem dritten kann's nicht stimmen, denn im Nenner kann doch nur [mm]x^2+2x+1[/mm] stehen. Wenn du die rechte Seite mit dem Nenner [mm]x^2+2x+1[/mm] malnimmst, muss auch der Zähler wieder herauskommen.
[mm] \bruch{a_3 x^3+a_2x^2+a_1x+a_0}{x^2+2x+1} = a_3x+(a_2-2a_3) + \bruch{(3a_3-2a_2+a_1)x+(2a_3-a_2+a_0)} {x^2+2x+1} [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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hm, ok, da hatte ich wohl was falsch gemacht, aber du hattest doch auch gesagt, dass dann der rest -8x-21 sein muss und dies dann dies dann 2 gl. für die koeffizienten gibt, wie kommt man dann da drauf? das versteh ich noch nicht so.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Sa 22.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hm, ok, da hatte ich wohl was falsch gemacht, aber du
> hattest doch auch gesagt, dass dann der rest -8x-21 sein
> muss und dies dann dies dann 2 gl. für die koeffizienten
> gibt, wie kommt man dann da drauf? das versteh ich noch
> nicht so.
Ist dir klar, was die Notation
[mm] f \equiv -8x-21 \bmod(x+1)^2 [/mm]
bedeutet? Es gibt ein Polynom p(x), sodass
[mm] f = -8x-21 +p(x)* (x+1)^2 [/mm].
Daher ergibt sich, wenn man f durch [mm] (x+1)^2 [/mm] dividiert:
[mm] \bruch{f}{(x+1)^2} = \bruch{-8x-21}{(x+1)^2} +p(x) [/mm],
also p(x) als Quotient und -8x-21 als Rest. Mit dem Ergebnis von oben:
[mm] p(x) = a_3x+(a_2-2a_3) [/mm] und [mm] (3a_3-2a_2+a_1)x+(2a_3-a_2+a_0) = -8x-21 [/mm], also
[mm] 3a_3-2a_2+a_1 = -8 [/mm] und [mm] 2a_3-a_2+a_0 = -21 [/mm].
Wenn du jetzt die zweite Polynomdivision durchführst, bekommst du die restlichen Gleichungen.
Viele Grüße
Rainer
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Hi, das habe ich jetzt eigentlich verstanden, aber kann man aus dieser gleichung einfach zwei gleichungen machen?
[mm] (3a_3-2a_2+a_1)x+(2a_3-a_2+a_0) [/mm] = -8x-21
weil es ist ja eigentlich eine gl und du hast die dann in zwei aufgeteilt, den rest habe ich soweit verstanden, danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Sa 22.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Die beiden Polynome sind gleich, was heisst das für die Koeffizienten?
Viele Grüße
Rainer
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Hi nochmal.
also ich habe das gleich jetzt auch mit der zweiten gl. gemacht, dabei komme ich ja insgesamt auf diese beiden gleichungen:
[mm] \bruch{a_3 x^3+a_2x^2+a_1x+a_0}{x^2+2x+1} [/mm] = [mm] a_3x+(a_2-2a_3) [/mm] + [mm] \bruch{(3a_3-2a_2+a_1)x+(2a_3-a_2+a_0)} {x^2+2x+1} [/mm]
[mm] \bruch{a_3 x^3+a_2x^2+a_1x+a_0}{x^2+4x+4} [/mm] = [mm] a_3x+(a_2-4a_3) [/mm] + [mm] \bruch{(16a_3-4a_2+a_1)x+(12a_3-4a_2+a_0)} {x^2+4x+4} [/mm]
dies führt dann auf folgendens, wenn ich mich nicht verrechnet habe:
[mm] 3a_3-2a_2+a_1 [/mm] = -8
[mm] 2a_3-a_2+a_0 [/mm] = -3
[mm] 16a_3-4a_2+a_1 [/mm] = -21
[mm] 12a_3-4a_2+a_0 [/mm] = -23
so ich hoffe da habe ich mich nicht vertan. aber ich kriege dann folgende Werte:
[mm] a_3 [/mm] = 0,05
[mm] a_2 [/mm] = 6,84
[mm] a_1 [/mm] = 5,52
[mm] a_0 [/mm] = 3,73
so und wie kommt man jetzt da drauf, zu sagen, dass die Summe der K. 1 ist?
danke im Voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Sa 22.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]3a_3-2a_2+a_1[/mm] = -8
> [mm]2a_3-a_2+a_0[/mm] = -3
> [mm]16a_3-4a_2+a_1[/mm] = -21
> [mm]12a_3-4a_2+a_0[/mm] = -23
Wenn du die 12 und die 16 vertauschst, stimmt's.
> so ich hoffe da habe ich mich nicht vertan. aber ich kriege
> dann folgende Werte:
>
> [mm]a_3[/mm] = 0,05
> [mm]a_2[/mm] = 6,84
> [mm]a_1[/mm] = 5,52
> [mm]a_0[/mm] = 3,73
Das ist ganz falsch, denn du gibst Näherungswerte an. Korrekt wäre:
[mm] a_3= \bruch{1}{19}, a_2 = \bruch{130}{19}, a_1 = \bruch{105}{19}, a_0 = \bruch{71}{19} [/mm].
Aber wie gesagt, deine Gleichungen stimmen nicht.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 Sa 22.12.2007 | | Autor: | jaruleking |
boah diese aufgabe regt mich jetzt langsam voll auf, ich habe das mit 12 und 16 jetzt sogar geändert, aber da kommen schon wieder so hässliche zahlen raus, das kanns doch wohl nicht sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 So 23.12.2007 | | Autor: | jaruleking |
ok, jetzt habe ich es doch raus bekommen,
da kommt -1,2,-1,1 raus, und die summe ist 1. das war aber echt ne geburt 
aber trotzdem danke für die hilfe.
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hallo nochmal, ich habe jetzt zwar das ergebnis rausbekommen, weiß aber noch nicht, warum du die 16 und die 12 vertauscht hast, ich finde meinen fehler irgendwie nicht.
also ich hatte bei meiner rechnung so gegen ende der polynomdivision, dies hier:
[mm] 16a_3x-4a_2x+a_1x+12a_3-4a_2+a_0 [/mm] das ist ja dann mein rest, dies habe ich dann auch geteilt und habe insgesamt dies erhalten:
[mm] \bruch{(16a_3-4a_2+a_1)x+(12a_3-4a_2+a_0)} {x^2+4x+4} [/mm]
so, dies habe ich jetzt, so wie es beim ersten bsp. auch gemacht wurde, wie folgt behandelt:
[mm] (16a_3-4a_2+a_1)x+(12a_3-4a_2+a_0) [/mm] = -21x -23 ja und dies liefert ja die gl.
[mm] 16a_3-4a_2+a_1 [/mm] = -21
[mm] 12a_3-4a_2+a_0 [/mm] = -23
jetzt finde ich irgendwie meinen fehler nicht, warum die 16 und die 12 vertauscht werden müssen.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 So 23.12.2007 | | Autor: | jaruleking |
ok, jetzt habe ich meinen fehler nach langem suchen doch noch gefunden, hatte diese binomi. formel gleich am anfang falsch aufgelöst
kann passieren ne.
aber trotzdem danke für die hilfe, jetzt habe ich es aber wenigstens verstanden.
gruß
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