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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:01 Do 07.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | | Beweisen Sie die Behauptung, dass (K[x], +, ·) ein assoziativer und kommutativer Ring mit Einselement ist. |
Ein K[x] also ein Polynomring ist definiert durch
[mm] (\summe_{i=1} a_{i} x^{i})(\summe_{j=1} b_{j} x^{j}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1} a_{i}b_{j} x^{i+j}
[/mm]
Kann mir jemand zeigen wo die Addition bzw. Multiplikation der Verknüpfung ist ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Do 07.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie die Behauptung, dass (K[x], +, ·) ein
> assoziativer und kommutativer Ring mit Einselement ist.
> Ein K[x] also ein Polynomring ist definiert durch
>
>
> [mm](\summe_{i=1} a_{i} x^{i})(\summe_{j=1} b_{j} x^{j})[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1} a_{i}b_{j} x^{i+j}[/mm]
>
> Kann mir jemand zeigen wo die Addition bzw. Multiplikation
> der Verknüpfung ist ?
in Deinen Unterlagen sollte stehen, was hier [mm] $+\,$ [/mm] und [mm] $\cdot$ [/mm] per Definitionem
ist.
Alternativ kannst Du es auch ![[]](/images/popup.gif) nachlesen!
Und bitte: Sauberer arbeiten. Deine Frage zum Beispiel macht inhaltlich
wenig Sinn. Eigentlich willst Du wohl wissen, wie die Verknüpfungen [mm] $+\,$
[/mm]
und [mm] $\cdot$ [/mm] auf K[x] definiert sind.
[mm] $\cdot$ [/mm] ist dabei das "Faltungsprodukt". Deine Definition davon ist weder
sinnig noch vollständig.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Do 07.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
Die Addition:
[mm] (a_{i})_{i\in\IN_{0}} [/mm] + [mm] (b_{i})_{i\in\IN_{0}} [/mm] = [mm] (a_{i}+b_{i})_{i\in\IN_{0}}
[/mm]
Die Multiplikation:
[mm] (a_{i})_{i\in\IN_{0}} [/mm] * [mm] (b_{i})_{i\in\IN_{0}} [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{k}a_{i}b_{k-i})_{k\in\IN_{0}} [/mm] = [mm] (\summe_{i+j=k}^{}a_{i}b_{j})_{k\in\IN_{0}}
[/mm]
Ist das richtig ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Do 07.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo rsprsp!
> Die Addition:
> [mm](a_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] + [mm](b_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] =
> [mm](a_{i}+b_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm]
>
> Die Multiplikation:
> [mm](a_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] * [mm](b_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] =
> [mm](\summe_{i=1}^{k}a_{i}b_{k-i})_{k\in\IN_{0}}[/mm] =
> [mm](\summe_{i+j=k}^{}a_{i}b_{j})_{k\in\IN_{0}}[/mm]
>
> Ist das richtig ?
Bei der Multiplikation muss die Summe bei i=0 statt bei i=1 beginnen.
Ansonsten stimmt alles.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mo 11.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
> Die Addition:
> [mm](a_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] + [mm](b_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] =
> [mm](a_{i}+b_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm]
Bildet der Ring bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe ?
G1 - Assoziativität
[mm] ((a_{i})_{i\in\IN_{0}} [/mm] + [mm] (b_{i})_{i\in\IN_{0}}) [/mm] + [mm] (c_{i})_{i\in\IN_{0}} [/mm]
= [mm] ((a_{i}+b_{i})_{i\in\IN_{0}}) [/mm] + [mm] (c_{i})_{i\in\IN_{0}} [/mm]
= [mm] ((a_{i}+b_{i}) +c_{i})_{i\in\IN_{0}}
[/mm]
= [mm] (((a_{1}+b_{1})+ [/mm] ... [mm] +(a_{n}+b_{n}))+c_{i})
[/mm]
= [mm] ((a_{1}+b_{1})+c_{1}) [/mm] + ... + [mm] ((a_{n}+b_{n})+c_{n})
[/mm]
= [mm] ((a_{1}+b_{1}+c_{1}) [/mm] + ... + [mm] (a_{n}+b_{n}+c_{n}))
[/mm]
= [mm] (a_{1}+(b_{1}+c_{1})) [/mm] + ... + [mm] (a_{n}+(b_{n}+c_{n}))
[/mm]
= [mm] (a_{i}+((c_{1}+b_{1})+ [/mm] ... [mm] +(c_{n}+b_{n})))
[/mm]
= [mm] (a_{i}+(b_{i} +c_{i}))_{i\in\IN_{0}}
[/mm]
= [mm] (a_{i})_{i\in\IN_{0}} [/mm] + [mm] ((b_{i})_{i\in\IN_{0}} [/mm] + [mm] (c_{i}))_{i\in\IN_{0}} [/mm]
G2 - neutrales Element
[mm] (a_{i})_{i\in\IN_{0}} [/mm] + e
= [mm] ((a_{i}+e)_{i\in\IN_{0}}) [/mm]
wobei e=0
[mm] (a_{i})_{i\in\IN_{0}} [/mm] + 0
= [mm] ((a_{i}+0)_{i\in\IN_{0}}) [/mm] = [mm] a_{i\in\IN_{0}}
[/mm]
G3 - inverses Element
[mm] (a_{i})_{i\in\IN_{0}} [/mm] + [mm] (a_{i})^{-1}_{i\in\IN_{0}}
[/mm]
= [mm] ((a_{i}+(a_{i})^{-1})_{i\in\IN_{0}}) [/mm]
wobei [mm] (a_{i})^{-1}_{i\in\IN_{0}} [/mm] = [mm] -(a_{i})_{i\in\IN_{0}} [/mm] )
[mm] (a_{i})_{i\in\IN_{0}} [/mm] + [mm] (-(a_{i})_{i\in\IN_{0}})
[/mm]
= [mm] ((a_{i}-a_{i})_{i\in\IN_{0}}) [/mm] = 0
G4 - Kommutativität
[mm] (a_{i})_{i\in\IN_{0}} [/mm] + [mm] (b_{i})_{i\in\IN_{0}}
[/mm]
= [mm] ((a_{i}+b_{i})_{i\in\IN_{0}}) [/mm]
= [mm] ((a_{1}+b_{1})+ [/mm] ... [mm] +(a_{n}+b_{n}))
[/mm]
= [mm] ((b_{1}+a_{1})+ [/mm] ... [mm] +(b_{n}+a_{n}))
[/mm]
= [mm] ((b_{i}+a_{i})_{i\in\IN_{0}}) [/mm]
= [mm] (b_{i})_{i\in\IN_{0}} [/mm] + [mm] (a_{i})_{i\in\IN_{0}}
[/mm]
=> abelsche Gruppe
--- Habe ich die Beweise richtig geführt ??
Ist der Ring bezüglich der Multiplikation eine Halbgruppe?
$ [mm] (a_{i})_{i\in\IN_{0}} [/mm] $ * $ [mm] (b_{i})_{i\in\IN_{0}} [/mm] $ =
$ [mm] (\summe_{i=1}^{k}a_{i}b_{k-i})_{k\in\IN_{0}} [/mm] $ =
$ [mm] (\summe_{i+j=k}^{}a_{i}b_{j})_{k\in\IN_{0}} [/mm] $
= [mm] a_{0}b_{0}+a_{0}b_{1}+...+a_{0}b_{n}+...a_{n}b_{n}
[/mm]
Ist das richtig ?
Oder heißt es:
= [mm] a_{0}b_{k-0}+a_{1}b_{k-1}+...+a_{k}b_{k-k=0}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Mi 13.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Ich habe bisher ganz vergessen zu fragen: Was ist eigentlich K? Ein Körper? Ein kommutativer Ring mit Einselement?
> > Die Addition:
> > [mm](a_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] + [mm](b_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] =
> > [mm](a_{i}+b_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm]
>
> Bildet der Ring bezüglich der Addition eine abelsche
> Gruppe ?
> G1 - Assoziativität
> [mm]((a_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] + [mm](b_{i})_{i\in\IN_{0}})[/mm] +
> [mm](c_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm]
> = [mm]((a_{i}+b_{i})_{i\in\IN_{0}})[/mm] + [mm](c_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm]
> = [mm]((a_{i}+b_{i}) +c_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm]
Bis hierhin: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> = [mm](((a_{1}+b_{1})+[/mm]
> ... [mm]+(a_{n}+b_{n}))+c_{i})[/mm]
(Was sollen i und n hier sein?)
Hier steht ein Element von K, aber vor dem Gleichheitszeichen ein Element von K[x]. Das passt also nicht.
> = [mm]((a_{1}+b_{1})+c_{1})[/mm] + ... + [mm]((a_{n}+b_{n})+c_{n})[/mm]
Was tust du da?
> = [mm]((a_{1}+b_{1}+c_{1})[/mm] + ... + [mm](a_{n}+b_{n}+c_{n}))[/mm]
> = [mm](a_{1}+(b_{1}+c_{1}))[/mm] + ... + [mm](a_{n}+(b_{n}+c_{n}))[/mm]
Folgerichtig.
> = [mm](a_{i}+((c_{1}+b_{1})+[/mm] ... [mm]+(c_{n}+b_{n})))[/mm]
???
> = [mm](a_{i}+(b_{i} +c_{i}))_{i\in\IN_{0}}[/mm]
Streiche den gesamten "Mittelteil" der Gleichungskette und nutze direkt
[mm] $((a_{i}+b_{i}) +c_{i})_{i\in\IN_{0}}=(a_{i}+(b_{i} +c_{i}))_{i\in\IN_{0}}$.
[/mm]
Das ergibt sich direkt aus der Assoziativität der Addition in K.
> =
> [mm](a_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] + [mm]((b_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] +
> [mm](c_{i}))_{i\in\IN_{0}}[/mm]
Davor würde ich noch den Zwischenschritt
[mm] $=(a_i)_{i\in\IN_0}+(b_i+c_i)_{i\in\IN_0}$
[/mm]
einfügen.
> G2 - neutrales Element
>
> [mm](a_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] + e
> = [mm]((a_{i}+e)_{i\in\IN_{0}})[/mm]
>
> wobei e=0
Du willst die Existenz eines neutralen Elementes der Addition auf K[x] nachweisen.
Gib also zunächst ein Element von K[x] an (also eine Folge von Elementen aus K), von dem du behauptest, dass es das neutrale Element ist.
Dann kannst du nachweisen, dass es tatsächlich die Eigenschaft eines neutralen Elementes hat.
0 oder e kann später eine abkürzende Schreibweise für dieses neutrale Element sein.
Bei dir scheint e vor dem Gleichheitszeichen für ein Element von K[x] (also für eine Folge von Elementen von K) zu stehen, hinter dem Gleichheitszeichen jedoch für ein einzelnes Element von K.
> [mm](a_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] + 0
> = [mm]((a_{i}+0)_{i\in\IN_{0}})[/mm] = [mm]a_{i\in\IN_{0}}[/mm]
Gleiche Probleme.
Hinter dem letzten Gleichheitszeichen hast du dich wohl vertippt.
> G3 - inverses Element
(Besser Plural: Inverse Elemente. Schließlich lautet die Aussage von G3, dass alle Elemente von K[x] additiv inverse Elemente besitzen)
Diesen Teil kannst du erst sinnvoll bearbeiten, wenn du weißt, wie das neutrale Element von K[x] bezüglich der Addition lautet.
> [mm](a_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] + [mm](a_{i})^{-1}_{i\in\IN_{0}}[/mm]
Die Schreibweise [mm] $a^{-1}$ [/mm] verwendet man üblicherweise (im Falle der Existenz) für das multiplikativ inverse Element von $a$.
Für das additiv inverse Element eines Elementes $a$ verwendet man gewöhnlich die Schreibweise $-a$.
Diese Schreibweisen machen jedoch erst dann Sinn, wenn man sich schon klar gemacht, dass so ein Element überhaupt existiert.
> = [mm]((a_{i}+(a_{i})^{-1})_{i\in\IN_{0}})[/mm]
> wobei [mm](a_{i})^{-1}_{i\in\IN_{0}}[/mm] = [mm]-(a_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm]
> )
>
> [mm](a_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] + [mm](-(a_{i})_{i\in\IN_{0}})[/mm]
> = [mm]((a_{i}-a_{i})_{i\in\IN_{0}})[/mm] = 0
Sei [mm] $a=(a_i)_{i\in\IN_0}$ [/mm] ein beliebiges Element von $K[x]$.
Um nachzuweisen, dass $a$ ein additiv Inverses besitzt, gib zunächst ein Element von $K[x]$ an, von dem du behauptest, dass es das additiv Inverse sei. (Nicht $-a$ oder [mm] $-(a_i)_{i\in\IN_0}$ [/mm] schreiben! Diese Schreibweise macht erst Sinn, wenn wir schon wissen, dass $a$ ein additiv Inverses hat.)
Weise dann nach, dass dieses von dir angegebene Element tatsächlich additiv invers zu $a$ ist.
> G4 - Kommutativität
>
> [mm](a_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] + [mm](b_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm]
> = [mm]((a_{i}+b_{i})_{i\in\IN_{0}})[/mm]
> = [mm]((a_{1}+b_{1})+[/mm] ... [mm]+(a_{n}+b_{n}))[/mm]
(Was soll n sein?)
Hier steht ein Element von K, vor dem Gleichheitszeichen jedoch ein Element von K[x]. Das passt nicht.
> = [mm]((b_{1}+a_{1})+[/mm] ... [mm]+(b_{n}+a_{n}))[/mm]
Folgerichtig.
> = [mm]((b_{i}+a_{i})_{i\in\IN_{0}})[/mm]
Streiche wieder den "Mittelteil".
[mm] $(a_i+b_i)_{i\in\IN_0}=(b_i+a_i)_{i\in\IN_0}$
[/mm]
folgt direkt aus der Kommutativität der Addition in K.
> = [mm](b_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] + [mm](a_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm]
> Ist der Ring bezüglich der Multiplikation eine
> Halbgruppe?
Noch hast du ja gar nicht fertig gezeigt, dass K[x] (mit den schon thematisierten Verknüpfungen + und *) ein Ring ist.
Zusätzlich zur Eigenschaft, dass K[x] mit + eine abelsche Gruppe bildet, ist noch zu zeigen (beachte, dass K[x] nicht nur als Ring, sondern darüber hinaus als kommutativ mit Einselement nachgewiesen werden soll):
- Die Multiplikation auf K[x] ist assoziativ.
- Die Multiplikation auf K[x] ist kommutativ.
- Die Multiplikation auf K[x] besitzt ein neutrales Element.
- In K[x] gelten das/die Distributivgesetz(e).
> [mm](a_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] * [mm](b_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] =
> [mm](\summe_{i=1}^{k}a_{i}b_{k-i})_{k\in\IN_{0}}[/mm] =
> [mm](\summe_{i+j=k}^{}a_{i}b_{j})_{k\in\IN_{0}}[/mm]
Die Summe muss bei i=0 beginnen!
> = [mm]a_{0}b_{0}+a_{0}b_{1}+...+a_{0}b_{n}+...a_{n}b_{n}[/mm]
>
> Ist das richtig
Nein, das ist schon deshalb falsch, weil nach dem Gleichheitszeichen ein Element von K, davor jedoch ein Element von K[x] steht.
> Oder heißt es:
>
> = [mm]a_{0}b_{k-0}+a_{1}b_{k-1}+...+a_{k}b_{k-k=0}?[/mm]
Das ist die k-te Komponente von [mm](a_{i})_{i\in\IN_{0}}*(b_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm], nicht [mm](a_{i})_{i\in\IN_{0}}*(b_{i})_{i\in\IN_{0}}[/mm] selbst.
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