Polynomischer Lehrsatz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Fr 04.11.2005 | | Autor: | damaja |
Also der polynomische Lehrsatz lautet:
[mm] (a_{1}+...+a_{m})^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k_{1}+...+k_{m} = n} \bruch{n!}{k_{1}!*...*k_{m}!}*a_{1}^{k_{1}}*...*a_{m}^{k_{m}} [/mm] (mit 0 [mm] \le k_{1}, \ldots ,k_{m} \le [/mm] n).
Hat jemand ne Ahnung, wie man ihn induktiv beweisen kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Fr 04.11.2005 | | Autor: | damaja |
PS: Die Induktion soll über m (und nicht n) gemacht werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:14 Fr 04.11.2005 | | Autor: | damaja |
Also der Ansatz für den Induktionsschluss (m [mm] \mapsto [/mm] m+1) lautet:
[mm] (\underbrace{a_{1}+...+a_{m}}_{=:c}+a_{m+1})^{n}=(c+a_{m+1})^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}c^{i}*a_{m+1}^{n-i}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}(a_{1}+...+a_{m})^{i}*a_{m+1}^{n-i}
[/mm]
(nach I.A.:) [mm] =\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i} \summe_{k_{1}+...+k_{m}=i}\bruch{i!}{k_{1}!*...*k_{m}!}*a_{1}^{k_{1}}*...*a_{m}^{k_{m}}*a_{m+1}^{n-i}
[/mm]
Ab hier komme ich leider nicht weiter.
(Es ist z.z.: [mm] (a_{1}+...+a_{m}+a_{m+1})^{n}=\summe_{k_{1}+...+k_{m}+k_{m+1}=n} \bruch{n!}{k_{1}!*...*k_{m}!*k_{m+1}!}*a_{1}^{k_{1}}*...*a_{m}^{k_{m}}*a_{m+1}^{k_{m+1}} [/mm] .)
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> Also der polynomische Lehrsatz lautet:
>
> [mm](a_{1}+...+a_{m})^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k_{1}+...+k_{m} = n} \bruch{n!}{k_{1}!*...*k_{m}!}*a_{1}^{k_{1}}*...*a_{m}^{k_{m}}[/mm]
> (mit 0 [mm]\le k_{1}, \ldots ,k_{m} \le[/mm] n).
>
> Hat jemand ne Ahnung, wie man ihn induktiv beweisen kann?
> Also der Ansatz für den Induktionsschluss (m [mm]\mapsto[/mm] m+1)
> lautet:
Hallo,
mit Deinem Ansatz bist Du doch schon fast am Ziel!
>
> [mm](\underbrace{a_{1}+...+a_{m}}_{=:c}+a_{m+1})^{n}=(c+a_{m+1})^{n}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}c^{i}*a_{m+1}^{n-i}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}(a_{1}+...+a_{m})^{i}*a_{m+1}^{n-i}[/mm]
>
> (nach I.A.:) [mm]=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i} \summe_{k_{1}+...+k_{m}=i}\bruch{i!}{k_{1}!*...*k_{m}!}*a_{1}^{k_{1}}*...*a_{m}^{k_{m}}*a_{m+1}^{n-i}[/mm]
[mm]=\summe_{i=0}^{n} \bruch{n!}{i!(n-i)!} \summe_{k_{1}+...+k_{m}=i}\bruch{i!}{k_{1}!*...*k_{m}!}*a_{1}^{k_{1}}*...*a_{m}^{k_{m}}*a_{m+1}^{n-i}[/mm]
[mm]=\summe_{i=0}^{n} \summe_{k_{1}+...+k_{m}=i}\bruch{n!}{i!(n-i)!} \bruch{i!}{k_{1}!*...*k_{m}!}*a_{1}^{k_{1}}*...*a_{m}^{k_{m}}*a_{m+1}^{n-i}[/mm]
[mm]=\summe_{i=0}^{n} \summe_{k_{1}+...+k_{m}=i} \bruch{n!}{k_{1}!*...*k_{m}!(n-i)!}*a_{1}^{k_{1}}*...*a_{m}^{k_{m}}*a_{m+1}^{n-i}[/mm]
So. n-i läuft von 0 bis n, und es ist [mm] (k_{1}+...+k_{m})+(n-i)=n. [/mm] Also
[mm]= \summe_{k_{1}+...+k_{m}+k_{m+1}} \bruch{n!}{k_{1}!*...*k_{m}!k_{m+1}!}*a_{1}^{k_{1}}*...*a_{m}^{k_{m}}*a_{m+1}^{k_{m+1}}[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Sa 05.11.2005 | | Autor: | damaja |
Hallo Angela,
erstmal Danke für Deine schnelle Hilfe.
Aber den letzten Schritt verstehe leider nicht. Nach Deiner Rechnung ist (kurz gefasst):
[mm] \summe_{i=0}^{n} \summe \bruch{1}{(n-i)!}*a_{m+1}^{n-i}=\summe \bruch{1}{(k_{m+1})!}*a_{m+1}^{k_{m+1}} [/mm] ,
weil (n-i) von 0 bis n läuft und [mm] (k_{1}+...+k_{m})+(n-i)=n [/mm] ?
Gruß.
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> [mm]=\summe_{i=0}^{n} \summe_{k_{1}+...+k_{m}=i} \bruch{n!}{k_{1}!*...*k_{m}!(n-i)!}*a_{1}^{k_{1}}*...*a_{m}^{k_{m}}*a_{m+1}^{n-i}[/mm]
Laß das i jetzt mal laufen. Ich meine, schreib' die erste Summe aus.
Du bekommst
[mm] =\summe_{k_{1}+...+k_{m}=0} \bruch{n!}{k_{1}!*...*k_{m}!(n-0)!}*a_{1}^{k_{1}}*...*a_{m}^{k_{m}}*a_{m+1}^{n-0} [/mm]
+ [mm] \summe_{k_{1}+...+k_{m}=1} \bruch{n!}{k_{1}!*...*k_{m}!(n-1)!}*a_{1}^{k_{1}}*...*a_{m}^{k_{m}}*a_{m+1}^{n-1}
[/mm]
+ [mm] \summe_{k_{1}+...+k_{m}=2} \bruch{n!}{k_{1}!*...*k_{m}!(n-2)!}*a_{1}^{k_{1}}*...*a_{m}^{k_{m}}*a_{m+1}^{n-2}
[/mm]
+...+ [mm] \summe_{k_{1}+...+k_{m}=n-1} \bruch{n!}{k_{1}!*...*k_{m}!(1)!}*a_{1}^{k_{1}}*...*a_{m}^{k_{m}}*a_{m+1}^{1}
[/mm]
+ [mm] \summe_{k_{1}+...+k_{m}=n} \bruch{n!}{k_{1}!*...*k_{m}!(0)!}*a_{1}^{k_{1}}*...*a_{m}^{k_{m}}*a_{m+1}^{0}
[/mm]
Ich vermute, das ist soweit klar.
Der Knackpunkt ist das nun folgende Gleichheitszeichen.
> [mm]= \summe_{k_{1}+...+k_{m}+k_{m+1}} \bruch{n!}{k_{1}!*...*k_{m}!k_{m+1}!}*a_{1}^{k_{1}}*...*a_{m}^{k_{m}}*a_{m+1}^{k_{m+1}}[/mm]
Wir müssen überlegen, was das für eine Summe ist, was da aufsummiert wird.
Es wird da aufsummiert über Indizes 0 [mm] \le k_1,...k_{m+1} \le [/mm] n, und zwar über alle möglichen Kombinationen, für welche gilt [mm] k_1+k_2+...*k_{m+1}=n.
[/mm]
Und haargenau das haben wir auch oben auch versammelt. Sortiert nach der Potenz von [mm] a_{m+1}.
[/mm]
Wenn Du es immer noch etwas suspekt findest, schreib es doch mal für m=3 oder m=4 auf, solche Beispiele finde ich immer sehr erleuchtend.
Gruß v. Angela
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