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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 So 06.03.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Bilden die Polynomfunktionen [mm] $(x+1)^2, (x+2)^2, (x+3)^2$ [/mm] eine Basis für den Raum der quadratischen Polynomfunktionen [mm] $\mathcal{P}_2(\mathbb{(R)}?$
[/mm]
Man beschreibe die Menge aller Koeffizienten (bzgl. dieses Systems) welche Polynome mit den Nebenbedingungen $p(-1)=3$ und $p(0)= 14$ ergeben (es geht vor allem um das Aufstellen der entsprechenden Gleichungssysteme) |
Dass die Menge, die diese drei angegeben Polynome entählt, nicht linear unabhängig ist, glaube ich durch folgendes Beispiel gezeigt zu haben:
[mm] $\lambda_1(x^2+2x+1)+\lambda_2(x^2+4x+4)+\lambda_3(x^2+6x+9) [/mm] =0$
[mm] $x^2+2x+1 [/mm] = 10 [mm] \Rightarrow [/mm] x= [mm] \sqrt{10} [/mm] -1 $
[mm] $x^2+4x+4 [/mm] = 5 [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \sqrt{5} [/mm] -2 $
[mm] $x^2+6x+9 [/mm] = 5 [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \sqrt{5} [/mm] - 3$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] für diese x ist bei [mm] $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1$ [/mm] die obige Gleichung = 0 [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nicht l.u. [mm] $\Rightarrow$ [/mm] keine Basis
Stimmt mein Gegenbeispiel?
Die Beschreibung der Menge aller Koeffizienten glaube ich durch das Auftsellen eines linearen Gleichungssystem wie folgt zu erhalten:
[mm] $ax^2+bx+c [/mm] = 3 | x=-1$
[mm] $ax^2+ [/mm] bx+c = 14 | x=0 $
Also:
I $a- b+c =3$
II $c = 14$
Ich bin mir aber bei diesem ganze nicht sicher, ist nur meine Idee. Eine andere hätte ich aber im Moment nicht und bitte daher um ein Feedback und sonst un einen Tipp, falsch ich es falsch gemacht habe, wie ich es richtig machen könnte.
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Hallo clemenum,
> Bilden die Polynomfunktionen [mm](x+1)^2, (x+2)^2, (x+3)^2[/mm] eine
> Basis für den Raum der quadratischen Polynomfunktionen
> [mm]\mathcal{P}_2(\mathbb{(R)}?[/mm]
> Man beschreibe die Menge aller Koeffizienten (bzgl. dieses
> Systems) welche Polynome mit den Nebenbedingungen [mm]p(-1)=3[/mm]
> und [mm]p(0)= 14[/mm] ergeben (es geht vor allem um das Aufstellen
> der entsprechenden Gleichungssysteme)
> Dass die Menge, die diese drei angegeben Polynome
> entählt, nicht linear unabhängig ist, glaube ich durch
> folgendes Beispiel gezeigt zu haben:
> [mm]\lambda_1(x^2+2x+1)+\lambda_2(x^2+4x+4)+\lambda_3(x^2+6x+9) =0[/mm]
>
> [mm]x^2+2x+1 = 10 \Rightarrow x= \sqrt{10} -1[/mm]
> [mm]x^2+4x+4 = 5 \Rightarrow x = \sqrt{5} -2[/mm]
> [mm]x^2+6x+9 = 5 \Rightarrow x = \sqrt{5} - 3[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] für diese x ist bei
> [mm]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1[/mm] die obige Gleichung = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] nicht l.u. [mm]\Rightarrow[/mm] keine Basis
>
> Stimmt mein Gegenbeispiel?
Nein.
Bedingung für eine Basis ist, daß aus
[mm]\alpha*\left(x+1\right)^{2}+\beta*\left(x+2\right)^{2}+\gamma*\left(x+3\right)^{2}=0[/mm]
[mm]\alpha=\beta=\gamma=0[/mm] folgt.
>
> Die Beschreibung der Menge aller Koeffizienten glaube ich
> durch das Auftsellen eines linearen Gleichungssystem wie
> folgt zu erhalten:
> [mm]ax^2+bx+c = 3 | x=-1[/mm]
> [mm]ax^2+ bx+c = 14 | x=0[/mm]
> Also:
> I [mm]a- b+c =3[/mm]
> II [mm]c = 14[/mm]
>
> Ich bin mir aber bei diesem ganze nicht sicher, ist nur
> meine Idee. Eine andere hätte ich aber im Moment nicht und
> bitte daher um ein Feedback und sonst un einen Tipp, falsch
> ich es falsch gemacht habe, wie ich es richtig machen
> könnte.
Das Polynom läßt sich in der Form
[mm]\alpha*\left(x+1\right)^{2}+\beta*\left(x+2\right)^{2}+\gamma*\left(x+3\right)^{2}[/mm]
darstellen, falls [mm]\left(x+1\right)^{2}, \ \left(x+2\right)^{2}, \ \left(x+3\right)^{2}[/mm]
eine Basis für den Raum der quadratischen Polynome ist.
Dann kannst Du Die Bedingungen aufstellen.
Gruss
MathePower
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