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| Aufgabe | Entscheiden Sie , ob der Graph der Funktion f symmetrisch zur y-Achse bzw. zum Ursprung ist oder ob keine Symmetrie vorliegt.
a) f(x) = 4x³-1,2x
b) f(x) = [mm] x^{5} -4,5x^{3} [/mm] -3,75x -1,5 |
Hallo , kommen wir zu a :
Wir haben folgendes gelernt :
Der Graph einer Polynomfunktion f mit dem Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse ( punksymmetrisch zum Ursprung) , wenn im Funktionsterm von f nur Potenzen von x mit geraden ( ungeraden) Exponenten auftreten.
bei a kommt dann bei mir das raus :
f(x) = 4x³ - 1,2x
f(-x) = 4(-x)³-1,2(-x) = -4x³ +1,2x [mm] \not=f(x) [/mm] und [mm] \not= [/mm] -f(x) , das heißt für mich : keine Symmetrie , liege ich da richtig ?
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Hallo pc_doctor,
> Entscheiden Sie , ob der Graph der Funktion f symmetrisch
> zur y-Achse bzw. zum Ursprung ist oder ob keine Symmetrie
> vorliegt.
> a) f(x) = 4x³-1,2x
> b) f(x) = [mm]x^{5} -4,5x^{3}[/mm] -3,75x -1,5
> Hallo , kommen wir zu a :
>
> Wir haben folgendes gelernt :
> Der Graph einer Polynomfunktion f mit dem
> Definitionsbereich [mm]\IR[/mm] ist genau dann achsensymmetrisch zur
> y-Achse ( punksymmetrisch zum Ursprung) , wenn im
> Funktionsterm von f nur Potenzen von x mit geraden (
> ungeraden) Exponenten auftreten. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> bei a kommt dann bei mir das raus :
>
> f(x) = 4x³ - 1,2x
> f(-x) = 4(-x)³-1,2(-x) = -4x³ +1,2x [mm]\not=f(x)[/mm] und [mm]\not=[/mm] -f(x)![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Es ist doch [mm]-f(x)=(-1)\cdot{}(4x^3-1,2x)=-4x^3+1,2x[/mm]
Und genau das hast du für [mm]f(-x)[/mm] doch berechnet ...
> , das heißt für mich : keine Symmetrie , liege ich
> da richtig ?
Nein.
Gruß
schachuzipus
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> > f(x) = 4x³ - 1,2x
> > f(-x) = 4(-x)³-1,2(-x) = -4x³ +1,2x [mm]\not=f(x)[/mm]
> und [mm]\not=[/mm] -f(x)
>
> Es ist doch [mm]-f(x)=(-1)\cdot{}(4x^3-1,2x)=-4x^3+1,2x[/mm]
>
> Und genau das hast du für [mm]f(-x)[/mm] doch berechnet ...
>
Wenn es f(-x) ist was ist dann mit dem Plus vor der 1,2 ?
Warum ist es denn f(-x) ? Sind doch eigentlich ungerade Exponenten oder ? Einmal 3 und einmal 1 ?
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Moin,
> > > f(x) = 4x³ - 1,2x
> > > f(-x) = 4(-x)³-1,2(-x) = -4x³ +1,2x [mm]\not=f(x)[/mm]
>
> > und [mm]\not=[/mm] -f(x)
> >
> > Es ist doch [mm]-f(x)=(-1)\cdot{}(4x^3-1,2x)=-4x^3+1,2x[/mm]
> >
> > Und genau das hast du für [mm]f(-x)[/mm] doch berechnet ...
> >
>
> Wenn es f(-x) ist was ist dann mit dem Plus vor der 1,2 ?
> Warum ist es denn f(-x) ? Sind doch eigentlich ungerade
> Exponenten oder ? Einmal 3 und einmal 1 ?
Vergleiche doch einmal deine Ergebnisse:
[mm] f(x)=4x^3-1,2x
[/mm]
[mm] f(-x)=4(-x)^3-1,2(-x)=1,2x-4x^3
[/mm]
Also f(-x)=-f(x) und die Punktsymmetrie zum Ursprung folgt.
LG
EDIT: Tippfehler
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Achso jetzt wird mir das klar um zu gucken ob ich es verstanden habe gleich mal b :
f(x) = [mm] x^{5} -4,5x^{3} [/mm] - 3,75x - 1,5
f(-x) = [mm] 1(-x)^{5} -4,5(-x)^{3} [/mm] -3,75(-x) -1,5 = [mm] -x^{5} +4,5x^{3}+3,75x-1,5 [/mm] , das ist dann gleich f(-x) oder ? Also symmetrisch zum Ursprung?
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Hallo,
nein, die b) ist nicht symmetrisch zum Ursprung. Was passiert denn mit dem Vorzeichen des Absolutglieds, also der -1,5? Richtig: gar nix. Also gilt das Kriterium für die Punktsymmetrie zum Ursprung
f(-x)=-f(x)
hier nicht!
Gruß, Diophant
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Also weil sich das Minuszeichen nicht geändert hat , also nicht + geworden ist , ist es also nicht symmetrisch zum Ursprung , wenn sich die -1,5 ändern würde also z.B , +1,5 dann würde es symmetrisch zum Ursprung sein ?
Muss sich immer alles ändern?
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Hallo,
> Also weil sich das Minuszeichen nicht geändert hat , also
> nicht + geworden ist , ist es also nicht symmetrisch zum
> Ursprung
ja, genau.
> Muss sich immer alles ändern?
panta rhei (kleiner Scherz). 
Es muss eben das jeweilige Kriterium gelten, also
f(-x)=f(x): Achsensymmetrie zur y-Achse
f(-x)=-f(-x): Punktsymmetrie zum Ursprung
Dass das nicht immer alles so einfach ist, kannst du bspw. an folgenden Beispielen sehen:
[mm] f(x)=2^x+2^{-x}
[/mm]
[mm] f(-h)=2^{-h}+2^h=2^h+2^{-h}=f(h) [/mm] => Achsensymmetrie zur y-Achse
[mm] g(x)=2^x-2^{-x}
[/mm]
[mm] g(-h)=2^{-h}-2^h=-2^h+2^{-h}=-(2^h-2^{-h})=-g(h) [/mm] => Punktsymmetrie zum Ursprung
Bei Polynomfunktionen kannst du nach den Exponenten gehen, und wenn du noch [mm] x^0=1 [/mm] beachtest, so kannst du konstante Summanden im Funktionsterm den Potenzen mit gerader Hochzahl zuordnen und in obigem Fall eine Punktsymmetrie zum Ursprung sofort ausschließen.
Ich würde übrigens nie als Resultat angeben, dass das Schaubild nicht symmetrisch ist, sondern eine Formulierung wie etwa 'keine Symmetrie erkennbar' gebrauchen.
Gruß, Diophant
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Also ein Beispiel hätte ich noch :
f(x) = [mm] (\bruch{2}{3})x^{11} -4x^{7} [/mm] + [mm] 3x^{6}
[/mm]
f(-x) = [mm] \bruch{2}{3}(-x)^{11} -4(-x)^{7} [/mm] + [mm] 3(-x)^{6} [/mm]
= [mm] -\bruch{2}{3}x^{11} [/mm] + [mm] 4x^{7} [/mm] + [mm] 3x^{6}
[/mm]
Hier haben sich alle Vorzeichen gändert außer das letzte Glied ? also [mm] +3x^{6} [/mm] da ist das Vorzeichen gleich geblieben , das heißt es gilt nicht f(x) = -f(x) oder ?
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Hallo,
> , das heißt es gilt nicht f(x) = -f(x) oder ?
du meinst sicherlich f(-x)=-f(x)? Und nein, das gilt nicht, ebensowenig wie f(-x)=f(x).
Gruß, Diophant
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Oh tut mir leid hab mich verschrieben , meine natürlich f(-x) = -f(x) , das trifft nicht zu..
Eine Frage hätte ich noch :
f(x) = [mm] 3(x-1)^{3} [/mm] hier kann ich doch einfach die Klammern auflösen und dann ganz normal prüfen ob Symmetrie vorliegt oder ?
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Hallo,
> Eine Frage hätte ich noch :
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> f(x) = [mm]3(x-1)^{3}[/mm] hier kann ich doch einfach die Klammern
> auflösen und dann ganz normal prüfen ob Symmetrie
> vorliegt oder ?
das kannst du so machen, es ist aber umständlich. Untersuche einfach f(-x) direkt ohne auszumultiplizieren.
Eine Anmerkung:
Heutzutage werden (in Deutschland) Schaubilder von Funktionen i.d.R. nur noch auf Achsensymmetrie zur y-Achse sowie auf Punktsymmetrie zum Ursprung untersucht. Selbstverständlich kann ein Schaubild zu einer beliebigen senkrechten Achse bzw. zu einem beliebigen Punkt der Ebene symmetrisch sein. Die Vorgehensweisen, diese Symmetrieen nachzuweisen, sind dann aber etwas komplizierter. Du könntest dir bspw. einmal versuchsweise klarmachen, dass jede ganzrationale Funktion 3. Grades zu ihrem Wendepunkt symmetrisch ist.
Gruß, Diophant
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Danke für die interessante Anmerkung , klingt komisch aber ich würde gerne [mm] 3(x-1)^{3} [/mm] auflösen aber irgendwie komme ich da nicht weiter :
(x-1) * (x-1) * (x-1)
= x³ -1x-1x-1x-1x +1+1
= x³ -4x +2 das ganze mit 3 multipliziert ist das richtig
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> Danke für die interessante Anmerkung , klingt komisch aber
> ich würde gerne [mm]3(x-1)^{3}[/mm] auflösen aber irgendwie komme
> ich da nicht weiter :
>
>
> (x-1) * (x-1) * (x-1)
>
> = x³ -1x-1x-1x-1x +1+1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> = x³ -4x +2 das ganze mit 3 multipliziert ist das richtig
Nein.
Da solltest du entweder schön brav und schrittweise
(und komplett) ausmultiplizieren:
$\ [mm] (x-1)^3\ [/mm] =\ [mm] (x-1)^2*(x-1)\ [/mm] =\ [mm] (x^2-2\,x+1)*(x-1)\ [/mm] =\ ...\ (6\ Summanden)\ ...$
und dann zusammenfassen oder aber die binomische
Formel für den Exponenten 3 anwenden.
LG
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Vielen Dank , das hatte mir gefehlt der Ansatz , ich habe nun folgendes raus :
[mm] x^{3} [/mm] - [mm] 3x^{2} [/mm] +3x + 1.
Es gibt da noch eine Methode hatte mal grade gegoogelt nennt sich Paschalsches Dreieck , gibt es da irgendeinen Vorteil?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Mo 13.06.2011 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank , das hatte mir gefehlt der Ansatz , ich habe
> nun folgendes raus :
>
> [mm]x^{3}[/mm] - [mm]3x^{2}[/mm] +3x + 1.
Stimmt nicht ganz, am Ende muss es -1 heißen.
>
>
> Es gibt da noch eine Methode hatte mal grade gegoogelt
> nennt sich Paschalsches Dreieck , gibt es da irgendeinen
> Vorteil?
Wenn du das PASCAL'sche Dreieck kennst, musst du nicht erst ausmultiplizieren. Die in [mm] (x-1)^3 [/mm] vor den einzelnen Produkten vorkommenden Koeffizienten 1, 3, 3 bzw. 1 findest du eben im Dreieck sofort und kannst das Ergebnis [mm] 1*x^3+3*x^2*(-1)+3*x*(-1)^2+1*(-1)^3 [/mm] sofort hinschreiben.
Gruß Abakus
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Sorry hab mich wieder verschrieben -.- , habs aber auf meinem Blatt richtig geschrieben.
Noch ne Frage :
Wenn ich eine Funktionsgleichung habe , wie diese : f(x) = [mm] x^{2}(x-2)^{2} [/mm] und ich soll das so verschieben , dass der verschobene Graph symmetrisch zur y-Achse sein soll.
Dafür brauche ich die Scheitelpunktsform ich habe nun diese Gleichung aufgelöst und hab das hier raus :
[mm] x^{4}-4x^{3}+4x^{2} [/mm] , wie soll ich von so einer Gleichung die Scheitelpunktsform bilden ? Habe den Graphen zeichnen lassen und hab als zeichnerische Lösung S(-1|1) raus aber rechnerisch weiß ich nicht wie man auf das Ergebnis kommt.
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> Wenn ich eine Funktionsgleichung habe , wie diese : f(x) =
> [mm]x^{2}(x-2)^{2}[/mm] und ich soll das so verschieben , dass der
> verschobene Graph symmetrisch zur y-Achse sein soll.
>
> Dafür brauche ich die Scheitelpunktsform ich habe nun
> diese Gleichung aufgelöst und hab das hier raus :
>
> [mm]x^{4}-4x^{3}+4x^{2}[/mm] , wie soll ich von so einer Gleichung
> die Scheitelpunktsform bilden ? Habe den Graphen zeichnen
> lassen und hab als zeichnerische Lösung S(-1|1) raus aber
> rechnerisch weiß ich nicht wie man auf das Ergebnis kommt.
Eigentlich lohnt sich das Ausmultiplizieren gar nicht,
denn man kann die Aufgabe durch Hinschauen lösen.
Es ist [mm] f(x)=x^2*z^2 [/mm] , wobei z=x-2
[mm] y_1=x^2 [/mm] ergibt die Normalparabel mit Scheitelpunkt (0|0),
[mm] y_2=z^2 [/mm] eine um 2 nach rechts verschobene Normalparabel
mit Scheitel in (2|0). Da die beiden Faktoren im Übrigen
(außer der Verschiebung in x-Richtung) absolut analog
(und jeweils symmetrisch bezüglich ihrer Achsen x=0
bzw. x=2) sind, muss die Produktfunktion symmetrisch
bezüglich der Mittelsenkrechten zwischen den beiden
Scheiteln, also bezüglich der Geraden x=1 sein. Die
ursprüngliche Kurve muss also in x-Richtung um eine
Einheit nach links verschoben werden.
LG Al-Chw.
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Alles klar , habs dann umsonst gemacht , trotzdem das hat mir weitergeholfen , vielen Dank !
Das mit z= x-2 , ist das eine Substitution ?
Edit : Heißt es nicht z= [mm] (x-2)^{2} [/mm] ?
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> Das mit z= x-2 , ist das eine Substitution ?
Ja.
> Edit : Heißt es nicht z= [mm](x-2)^{2}[/mm] ?
Nein, ich meinte wirklich z=x-2 und also [mm] z^2=(x-2)^2 [/mm] .
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Mo 13.06.2011 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar vielen vielen Dank !
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> Du könntest dir bspw. einmal versuchsweise klarmachen, dass
> jede ganzrationale Funktion 3. Grades zu ihrem Wendepunkt
> symmetrisch ist.
>
> Gruß, Diophant
... eben nicht symmetrisch zu ihrem Wendepunkt,
sondern (zu sich selbst !) symmetrisch bezüglich ihres
Wendepunktes, der als Symmetriezentrum fungiert.
LG Al-Chw.
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> Ich würde übrigens nie als Resultat angeben, dass das
> Schaubild nicht symmetrisch ist, sondern eine Formulierung
> wie etwa 'keine Symmetrie erkennbar' gebrauchen.
Hallo Diophant,
ich würde da sogar noch etwas einschränkender sagen:
"der Graph der Funktion f ist weder bezüglich der
y-Achse noch bezüglich des Ursprungs symmetrisch" .
Bei der Funktion f mit
$\ f(x)\ =\ [mm] x^{5} -4,5\,x^{3} -3,75\,x [/mm] -1,5$
ist nämlich durchaus und ganz leicht eine Symmetrie
erkennbar, nämlich Punktsymmetrie bezüglich des
Symmetriezentrums (0|-1.5).
Insofern halte ich auch die Aufgabestellung
"Entscheiden Sie , ob der Graph der Funktion f sym-
metrisch zur y-Achse bzw. zum Ursprung ist oder ob
keine Symmetrie vorliegt" für irreführend.
Außerdem ist auch schon die Formulierung
"ob der Graph der Funktion f symmetrisch zur y-Achse
bzw. zum Ursprung ist", falsch. Ein Graph könnte nur
dann "symmetrisch zur y-Achse" sein, wenn er eine
Gerade wäre, "symmetrisch zum Ursprung" nur dann,
wenn er aus einem einzigen Punkt bestünde.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:39 Di 14.06.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo Al Chwarizmi,
du hast schon Recht mit deinen Einwänden bezüglich der Art und Weise, wie solche Symmetrieeigenschaften i.a. verbal ausformuliert werden. Ich habe gestern einfach den alltäglichen Schulbuch-Slang verwendet, aber dein Beitrag fasse ich als eine Anregung auf, da in Zukunft beim Formulieren sorgsamer vorzugehen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:43 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
da ist war ein Tippfehler, es sollte
f(-x)=-f(x) heißen.
Gruß, Diophant
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