Polynomfunktion,Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | M [mm] \in \IN, [/mm] m [mm] \ge [/mm] 1 und p: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] ist eine Polynomfunktion der Form
[mm] p(x)=x^m [/mm] + [mm] a_{m-1} x^{m-1}+...+a_0
[/mm]
Zeige [mm] lim_{n->\infty} [/mm] p(x) = [mm] \infty [/mm] |
Skript:
p(x)= [mm] x^m [/mm] * (1+ [mm] \frac{a_{m-1}}{x} +...+\frac{a_0}{x^m} \ge x^m [/mm] * (1- [mm] \frac{|a_{m-1}|}{|x|}-...-\frac{|a_{0}|}{|x^m|}.
[/mm]
Ist soweit klar
x [mm] \ge [/mm] M := 2m * max [mm] (1,|a_{m-1}|,...,|a_0| [/mm] dann die obige ungleichung impliziert
p(x) [mm] \ge x^m [/mm] (1-m*1/2m) = [mm] x^m/2
[/mm]
> Das verstehe ich gar nicht!!
Lassen wir [mm] x_n [/mm] -> [mm] \infty [/mm] und wählen [mm] n_0 \in \IN [/mm] sodass [mm] x_n \ge [/mm] M für alle n [mm] \ge n_0. [/mm] Dann gilt für n [mm] \ge n_0
[/mm]
[mm] p(x_n) \ge \frac{ x^m_n}{2} [/mm] -> [mm] \infty [/mm] (für n -> [mm] \infty)
[/mm]
> Da der obere Teil unklar ist, kann ich hier auch nicht mehr folgen.
Ich würde mich freuen, wenn mir das wer erklären könnte .
Schönen Mittwoch.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Mi 29.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> M [mm]\in \IN,[/mm] m [mm]\ge[/mm] 1 und p: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] ist eine
> Polynomfunktion der Form
> [mm]p(x)=x^m[/mm] + [mm]a_{m-1} x^{m-1}+...+a_0[/mm]
> Zeige [mm]lim_{n->\infty}[/mm]
> p(x) = [mm]\infty[/mm]
> Skript:
> p(x)= [mm]x^m[/mm] * (1+ [mm]\frac{a_{m-1}}{x} +...+\frac{a_0}{x^m} \ge x^m[/mm]
> * (1- [mm]\frac{|a_{m-1}|}{|x|}-...-\frac{|a_{0}|}{|x^m|}.[/mm]
> Ist soweit klar
> x [mm]\ge[/mm] M := 2m * max [mm](1,|a_{m-1}|,...,|a_0|[/mm] dann die obige
> ungleichung impliziert
> p(x) [mm]\ge x^m[/mm] (1-m*1/2m) = [mm]x^m/2[/mm]
> > Das verstehe ich gar nicht!!
das gewählte [mm] $M\,$ [/mm] erfüllt sicher $M [mm] \ge [/mm] 2m*S [mm] \ge [/mm] m*S [mm] \ge [/mm] m [mm] \ge 1\,,$ [/mm] also folgt
[mm] $$1/|x^k| \le 1/M^k \le [/mm] 1/M= 1/(2m*S)$$
sogar für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] und $x [mm] \ge M\,,$
[/mm]
wobei
[mm] $$S:=\max\{1,\;|a_{m-1}|,\;\ldots,\;|a_1|,\;|a_0|\}\,.$$
[/mm]
Daher folgt
$$1- [mm] \frac{|a_{m-1}|}{|x^{1}|}-...-\frac{|a_{0}|}{|x^m|} \ge 1-\frac{1}{M}\sum_{\ell=0}^{m-1} [/mm] S [mm] \ge 1-\frac{1}{2m*S}* [/mm] (m*S) [mm] \,.$$
[/mm]
P.S.
Bitte nochmal kontrollieren, vorhin hatte ich schon einen "Gedankenfehler" bzw. etwas vergessen. Hoffe, dass die Abschätzung nun passt!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
