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| Aufgabe | Wir definieren für n [mm] \in \IN [/mm] die folgenden Polynome:
[mm] \vektor{x \\ n} [/mm] = [mm] \bruch{x(x-1)(x-2)...(x-(n-1))}{n!}
[/mm]
Alternativ gibt es die folgende rekursive Definition:
[mm] \vektor{x\\0} [/mm] = 1 und [mm] \vektor{x\\n+1} [/mm] = [mm] \bruch{x-n}{n+1} \vektor{x\\n}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Funktionen [mm] g_{n} [/mm] : x [mm] \mapsto \vektor{x\\n} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] eine Basis des Vektorraums P der Polynomfunktion bilden. |
Hallo,
ich komm mal wieder nicht weiter.
Bisher weiß ich, dass ich rausfinden muss, ob die lineare Unabhängigkeit gilt.
Aber dann weiß ich nicht weiter. Brauch ich noch einen Induktionsbeweis?
Kann mir da jemand helfen?
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Di 06.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wir definieren für n [mm]\in \IN[/mm] die folgenden Polynome:
> [mm]\vektor{x \\ n}[/mm] = [mm]\bruch{x(x-1)(x-2)...(x-(n-1))}{n!}[/mm]
> Alternativ gibt es die folgende rekursive Definition:
> [mm]\vektor{x\\0}[/mm] = 1 und [mm]\vektor{x\\n+1}[/mm] = [mm]\bruch{x-n}{n+1} \vektor{x\\n}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass die Funktionen [mm]g_{n}[/mm] : x [mm]\mapsto \vektor{x\\n}[/mm]
> für n [mm]\in \IN[/mm] eine Basis des Vektorraums P der
> Polynomfunktion bilden.
> Hallo,
>
> ich komm mal wieder nicht weiter.
> Bisher weiß ich, dass ich rausfinden muss, ob die lineare
> Unabhängigkeit gilt.
Ja
> Aber dann weiß ich nicht weiter. Brauch ich noch einen
> Induktionsbeweis?
Dann mußt Du noch zeigen, dass $ [mm] \{ \vektor{x\\n} : n \in \IN_0 \}$ [/mm] eine Erzeugendensystem von P ist.
FRED
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> Kann mir da jemand helfen?
>
> Gruß
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Ok dann wüsste ich jetzt theoretisch, wie ich es angehen müsste. aber praktisch hab ich grad keine ahnung wie ich die lineare Unabhängigkeit zeigen soll?
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> Ok dann wüsste ich jetzt theoretisch, wie ich es angehen
> müsste. aber praktisch hab ich grad keine ahnung wie ich
> die lineare Unabhängigkeit zeigen soll?
Hallo,
das klingt geheimnisvoll.
Wenn du doch mal verraten würdest, wie Du es theoretisch machen würdest, und woran es in praxi scheitert, könnte man Dir besser und schneller helfen.
Was hast Du Dir denn zu der linearen Unabhängigkeit überlegt?
Was muß man weshalb zeigen?
Was macht Dir Probleme?
Gruß v. Angela
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