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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Do 12.01.2006 | | Autor: | Edi1982 |
| Aufgabe | Zeigen Sie: jede Polynomfunktion der Form
P: [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto \summe_{i=0}^{2n+1}a_i*x^i [/mm] mit [mm] a_i \in \IR, a_{2n+1} \not= [/mm] 0
hat mindestens eine reelle Nullstelle. |
Dies ist mir klar, denn wenn eine Funktion als größte Hochzahl eine Ungerade über dem x hat, kommt die Funktionskurve von unten und geht nach oben oder umgekehrt. Aber ich weiss nicht wie ich das mathematisch korrekt zeigen kann.
BRAUCHE HILFE.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Do 12.01.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Zeigen Sie: jede Polynomfunktion der Form
>
> P: [mm]\IR \to \IR[/mm] , x [mm]\mapsto \summe_{i=0}^{2n+1}a_i*x^i[/mm]
> mit [mm]a_i \in \IR, a_{2n+1} \not=[/mm] 0
> hat mindestens eine reelle Nullstelle.
> Dies ist mir klar, denn wenn eine Funktion als größte
> Hochzahl eine Ungerade über dem x hat, kommt die
> Funktionskurve von unten und geht nach oben oder umgekehrt.
> Aber ich weiss nicht wie ich das mathematisch korrekt
> zeigen kann.
Mit Beweisen habe ich es auch nicht immer so. Aber kann man nicht Polynome in Linearfaktoren zerlegen und dann die Nullstellen ablesen?
Also, bei komplexen Polynomen geht das auf jeden Fall, bei reellen ist das wohl nicht immer der Fall. Aber evtl. könnte man das für den Beweis benutzen - ist aber nur eine spontane Idee, weiß nicht, ob das funktioniert.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 Do 12.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallo Edi!
Habt ihr schon den Zwischenwertsatz in der Vorlesung behandelt?
Wenn ja, kannst du den nämlich hier anwenden. Nutze die Stetigkeit der Funktion und betrachte ihr Verhalten gegen + [mm] \infty [/mm] und - [mm] \infty [/mm] und du kannst dann aufgrund des Zwischenwertsatzes feststellen, dass im Intervall [a,b] eine Nullstelle liegt.
liebe Grüße
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Wie soll ich hier das Verhalten der Funktion gegen + [mm] \infty [/mm] und - [mm] \infty [/mm] betrachten?
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Hallo,
was glaubst du denn, warum deine Reihe bis 2n+1 läuft und nicht beispielsweise bis n oder 2n?
Damit die Exponenten nie gerade sind! Außerdem kann das Polynom dann auch nicht konstant sein, weil es für n=0 den Grad 1 hat.
Und dann ist das ziemlich klar. Polynome sind stetig. Die Funktion konvergiert für [mm] x\to\infty [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] und für [mm] x\to-\infty [/mm] gegen [mm] -\infty. [/mm]
Jetzt den ZWS anwenden und du bist fertig!
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Do 12.01.2006 | | Autor: | Edi1982 |
Danke für die gute Erklährung.
Ich habs jetzt.
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