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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Mi 28.11.2012 | | Autor: | marcye |
| Aufgabe | Gegeben sei die Menge [mm] M\subseteq\IR_{\le 3}[x],
[/mm]
[mm] M=\{x^3-2,x^2-1,x^3-x^2-1\}
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \{x^3-2,x^2-1\}\subset [/mm] M ein Erzeugendensystem von span(M) ist. |
Mein Ansatz ist folgender
[mm] span(M)=\{x^3-2, x^2-1\}, [/mm] da das dritte Polynom nur eine Linearkombination der ersten beiden ist.
[mm] \lambda_{1}(x^3-2)+\lambda_{2}(x^2-1)=ax^3+bx^2+c
[/mm]
Dann einen Koeffizientenvergleich
[mm] x^3: \lambda_{1}=a
[/mm]
[mm] x^2: \lambda_{2}=b
[/mm]
[mm] x^0: -2\lambda_{1}-\lambda_{2}=c
[/mm]
Wie sehe ich jetzt dass die beiden Vektoren ein EZB vom span(M) sind?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sei die Menge [mm]M\subseteq\IR_{\le 3}[x],[/mm]
>
> [mm]M=\{x^3-2,x^2-1,x^3-x^2-1\}[/mm]
Hallo,
in M sind alle Polynome, die man als Linearkombiantion von [mm] x^3-2,x^2-1 [/mm] und [mm] x^3-x^2-1 [/mm] schreiben kann.
>
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\{x^3-2,x^2-1\}\subset[/mm] M ein
> Erzeugendensystem von span(M) ist.
Zunächst einmal halten wir fest, daß die drei Vektoren [mm] x^3-2,x^2-1,x^3-x^2-1 [/mm] ein Erzeugendensystem von M sind, denn alle Elemente von M sind Linearkombinationen dieser Vektoren.
Jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis, das hast Du in der Vorlesung gelernt.
> Mein Ansatz ist folgender
>
> [mm]span(M)=\{x^3-2, x^2-1\},[/mm] da das dritte Polynom nur eine
> Linearkombination der ersten beiden ist.
Ja, die drei Vektoren waren linear abhängig.
Von den hier vorliegenden beiden Vektoren kannst Du nun zeigen, daß sie linear unabhängig sind.
Du tust das, indem Du zeigst, daß das Gleichungssystem [mm] a(x^3-2)+b*(x^2-1)=0 [/mm] nur die Lösung a=b=0 hat.
> Wie sehe ich jetzt dass die beiden Vektoren ein EZB vom
> span(M) sind?
In M sind Vektoren der Gestalt [mm] a*(x^3-2)+b*(x^2-1)+c*(x^3-x^2-1).
[/mm]
Es ist [mm] (a+c)(x^3-2)+(b-c)(x^2-1)=a*(x^3-2)+b*(x^2-1)+c*(x^3-x^2-1),
[/mm]
also kannst Du jedes Element aus M als Linearkombination von [mm] (x^3-2) [/mm] und [mm] (x^2-1) [/mm] schreiben.
Insgesamt hast Du dann gefunden ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, also eine Basis.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mi 28.11.2012 | | Autor: | marcye |
| Aufgabe | | Begründen Sie kurz und ohne die Teilraumkriterien zu bemühen, dass span(M) ein Teilraum des Vektorraums [mm] \IR_{\le 3}[x] [/mm] ist. |
Vielen Dank, das hat die Sache für mich endlich verständlich gemacht.
Es wäre nett wenn du mir kurz bei der oben gestellten Frage helfen könntest.
Das einzige was mir dazu einfällt ist, dass M keine Potenz höher 3 enthält. Reicht das als Begründung oder fehlt noch etwas?
Außerdem will ich den span(M) geklärt haben. Ist es richtig das [mm] span(M)=\{x^3-2,x^2-1\} [/mm] ist?
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> Begründen Sie kurz und ohne die Teilraumkriterien zu
> bemühen, dass span(M) ein Teilraum des Vektorraums
> [mm]\IR_{\le 3}[x][/mm] ist.
> Vielen Dank, das hat die Sache für mich endlich
> verständlich gemacht.
>
> Es wäre nett wenn du mir kurz bei der oben gestellten
> Frage helfen könntest.
>
> Das einzige was mir dazu einfällt ist, dass M keine Potenz
> höher 3 enthält. Reicht das als Begründung oder fehlt
> noch etwas?
Hallo,
das kommt ein wenig darauf an, was Ihr in der Vorlesung besprochen habt.
War dran, daß span(M) immer ein VR ist? Wenn ja: spam (M) ist ein VR, und da in span(M) nur Polynome vom Höchstgrad 3 sind, ist der Spann eine Teilmenge und somit also ein Unterraum des [mm] $\IR_{\le 3}[x]$.
[/mm]
>
> Außerdem will ich den span(M) geklärt haben. Ist es
> richtig das [mm]span(M)=\{x^3-2,x^2-1\}[/mm] ist?
Nein.
Richtig ist: [mm] $span(M)=\red{span}\{x^3-2,x^2-1\}$=\{a(x^3-2)+b(x^2-1)| a,b\in \IR\}.
[/mm]
LG Angela
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