Polynome und Endomorphismen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Do 08.05.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Es sei [mm] f=g*h\in [/mm] k[t] ein Polynom und [mm] \phi:V\to{V}\in{End(V)}. [/mm] Beweisen Sie ausführlich, dass:
[mm] g(\phi)\circ{h(\phi)}=h(\phi)\circ{g(\phi)}=f(\phi) [/mm] |
tja, da steh ich mal wieder auf dem Schlauch. Muss ich einfach zeigen, dass die Verknüpfung von Polynomen von Endomorphismen kommutativ ist? und wenn ja, wie mach ich das?
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> Es sei [mm]f=g*h\in[/mm] k[t] ein Polynom und [mm]\phi:V\to{V}\in{End(V)}.[/mm] Beweisen Sie ausführlich, dass:
> [mm]g(\phi)\circ{h(\phi)}=h(\phi)\circ{g(\phi)}=f(\phi)[/mm]
> tja, da steh ich mal wieder auf dem Schlauch. Muss ich einfach zeigen, dass die Verknüpfung von Polynomen von Endomorphismen kommutativ ist?
Genauer nur: dass die Verknüpfung von Polynomen desselben Endomorphismus kommutativ ist.
> und wenn ja, wie mach ich das?
Du kannst die Linearität des Endomorphismus [mm] $\phi$ [/mm] verwenden und dazu noch die Assoziativität der Verknüpfung [mm] $\circ$ [/mm] von Abbildungen. Damit erhältst Du in beiden Fällen dieselbe Linearkombination von gewissen "Potenzen" von [mm] $\phi$, [/mm] d.h. in beiden Fällen erhältst Du dasselbe Polynom des Endomorphismus (es ist [mm] $f=g\cdot [/mm] h$).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Di 13.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hallo!
Reicht es hier eigentlich
einfach für g und h jeweils ein allgemeines Polynom aufzustellen,
[mm] \phi [/mm] einzusetzen
und dann [mm] g(\phi)*h(\phi) [/mm] und [mm] h(\phi)*g(\phi) [/mm] und [mm] (gh)(\phi) [/mm] auszurechnen und dann sieht man ja dass dasselbe ist.
Oder muss man hier auch noch in [mm] \phi [/mm] etwas einsetzen?(weil somebody etwas von linearität gesagt hat)
Wozu benutzt man denn die Linearität?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Di 13.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo!
> Reicht es hier eigentlich
> einfach für g und h jeweils ein allgemeines Polynom
> aufzustellen,
> [mm]\phi[/mm] einzusetzen
> und dann [mm]g(\phi)*h(\phi)[/mm] und [mm]h(\phi)*g(\phi)[/mm] und
> [mm](gh)(\phi)[/mm] auszurechnen und dann sieht man ja dass dasselbe
> ist.
> Oder muss man hier auch noch in [mm]\phi[/mm] etwas einsetzen?(weil
> somebody etwas von linearität gesagt hat)
> Wozu benutzt man denn die Linearität?
>
Pass' auf was du schreibst... [mm] g(\phi)*h(\phi) [/mm] ist nicht definiert, denn du multiplizierst hier zwei Abbildungen [mm] V\to [/mm] V.
Laut Aufgabenstellung musst du [mm] g(\phi)\circ h(\phi) [/mm] ausrechnen.
Und dazu kannst du wirklich einfach bloß für h ein bel. Polynom nehmen, [mm] \phi [/mm] einsetzen, und dann auf das ganze nochmal [mm] g(\phi) [/mm] anwenden, lies: es wird ziemlich wild beim Ausmultiplizieren. Aber du weisst ja was rauskommen soll, nämlich einfach [mm] (g*h)(\phi) [/mm] (hier steht jetzt wirklich die Multiplikation).
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