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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mi 13.08.2008 | | Autor: | sanis |
| Aufgabe 1 | Zeigen Sie, dass das Polynom p(z) = [mm] z^4 [/mm] − [mm] 4z^3 [/mm] + [mm] 14z^2 [/mm] − 4z + 13 in z0 = i
eine Nullstelle hat, und bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen von p. |
| Aufgabe 2 | Zerlegen Sie das Polynom
q(x) = [mm] x^4 [/mm] − [mm] 6x^2 [/mm] + 9
so weit wie möglich in reelle lineare und quadratische Faktoren. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Tag allerseits, ich habe nun diese zwei aufgaben, ich habe zwar mehrere zu lösen, jedoch hoffe ich dass wenn mir jemand den ansatz für diese aufgaben verrät ich auch den rest alleine lösen kann.
bei z=i ist eine nullstelle, verstehe ich das richtig dass ich einfach i für z einsetze und dann null rauskommt? (was ja stimmt nur reicht das als beweis?) und wie gehe ich nun weiter vor um die andereb nullstellen zu berechnen? ich habe im internet was von substitution gelesen, kann mir jemand an dem beispiel nun erklären wie das geht?
bei der zweiten aufgabe: also soweit ich das mitbekommen habe im netz kann man das auch per substitution machen? also x²=z setzen und dann hat man z²-6z+9, ich steh ein wenig auf dem schlauch, was ist mit reelle lineare und quadratische faktoren gemeint?
ich hoffe es findet sich noch hilfe für die aufgaben.
Ich bedanke mich schonmal im vorraus,
freundlichen gruß
sanis
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> Zeigen Sie, dass das Polynom p(z) = [mm]z^4[/mm] − [mm]4z^3[/mm] +
> [mm]14z^2[/mm] − 4z + 13 in z0 = i
> eine Nullstelle hat, und bestimmen Sie alle weiteren
> Nullstellen von p.
> Zerlegen Sie das Polynom
> q(x) = [mm]x^4[/mm] − [mm]6x^2[/mm] + 9
> so weit wie möglich in reelle lineare und quadratische
> Faktoren.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Guten Tag allerseits, ich habe nun diese zwei aufgaben, ich
> habe zwar mehrere zu lösen, jedoch hoffe ich dass wenn mir
> jemand den ansatz für diese aufgaben verrät ich auch den
> rest alleine lösen kann.
> bei z=i ist eine nullstelle, verstehe ich das richtig dass
> ich einfach i für z einsetze und dann null rauskommt? (was
> ja stimmt nur reicht das als beweis?)
Ja, das kannst Du machen.
> und wie gehe ich nun
> weiter vor um die andereb nullstellen zu berechnen? ich
> habe im internet was von substitution gelesen, kann mir
> jemand an dem beispiel nun erklären wie das geht?
Wenn [mm] $z_0$ [/mm] eine Nullstelle des Polynoms $p(z)$ ist, so kann man den Linearfaktor [mm] $z-z_0$ [/mm] mindestens einmal (aber eventuell sogar mehrmals) mittels Polynomdivision von $p(z)$ als Faktor abspalten. Die restlichen Nullstellen von $p(z)$ sind also die Nullstellen des Polynoms [mm] $\frac{p(z)}{z-z_0}=z^3+(i-4)z^2+(13-4i)z+13i$. [/mm] Beachte: Diese Polynomdivision geht genau dann ohne Rest auf, wenn [mm] $z_0$ [/mm] eine Nullstelle von $p(z)$ ist. Somit kannst Du Dir den Nachweis von $p(i)=0$ auch sparen und einfach darauf hinweisen, dass die Polynomdivision aufgegangen ist und [mm] $z_0=i$ [/mm] somit eine Nullstelle von $p(z)$ sein müsse.
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> bei der zweiten aufgabe: also soweit ich das mitbekommen
> habe im netz kann man das auch per substitution machen?
> also x²=z setzen und dann hat man z²-6z+9, ich steh ein
> wenig auf dem schlauch, was ist mit reelle lineare und
> quadratische faktoren gemeint?
Bestimme also zuerst einmal die Faktorzerlegung von [mm] $z^2-6z+9$, [/mm] ergibt [mm] $(z-3)^2$. [/mm] Also hat das Polyon die Form [mm] $(x^2-3)^2$. [/mm] Nun kannst Du noch [mm] $x^2-3$ [/mm] in Faktoren zerlegen.
> ich hoffe es findet sich noch hilfe für die aufgaben.
> Ich bedanke mich schonmal im vorraus,
Ein Polynom mit reellen Koeffizienten kann man (zumindest theoretisch) immer in ein Produkt von linearen oder quadratischen Faktoren zerlegen. Denn es ist so: im Komplexen lässt sich jedes Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegen. Aber wenn die Koeffizienten reell vorausgesetzt sind, ist zu jeder komplexen Nullstelle [mm] $z_0$ [/mm] des Polynoms auch die zu dieser Nullstelle konjugierte komplexe Zahl [mm] $\overline{z}_0$ [/mm] eine Nullstelle des Polynoms (und zwar von derselben Vielfachheit). Daher kann man je Paare von Linearfaktoren der Form [mm] $z-z_0$ [/mm] und [mm] $z-\overline{z}_0$ [/mm] zusammenfassen und ausmultiplizieren, was einen quadratischen Faktor mit reellen Koeffizienten ergibt. Diese Komplikation, dass das reelle Polynom nicht-reelle komplexe Nullstellen hat, ist tritt bei diesem Beispiel aber nicht auf: Du kannst es vollständig in reelle Linearfaktoren zerlegen.
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