Polynome,Root Locus,Poltrajek. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:36 Do 01.12.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo (seit längerem wiedermal),
Da ich mich zurzeit mit Regelsystemen beschäftige, hab ich ständig mit Polynomen in Übertragungsfunktionen zu tun. Leider ist mein mathematisches wissen über die Eigenschaften von Polynomen höherer Ordnung als 2 relativ beschränkt...
Oftmals ist gegeben eine Übertragungsfunktion G(s) in form einer rationalen Funktion [mm] \bruch{a_{n}*s^{n}+a_{n-1}*s^{n-1}+...+a_{0}}{b_{n}*s^{n}+b_{n-1}*s^{n-1}+...+b_{0}}. [/mm]
Diese wird mit einer Funktion D(s) kompensiert. Nehmen wir mal an D(s) sei nur eine Konstante K. So ist sieht das Feedback folgendermassen aus:
U(s) = [mm] \bruch{K*G(s)}{1 + K*G(s)} [/mm] = [mm] \bruch{K*(a_{n}*s^{n}+a_{n-1}*s^{n-1}+...+a_{0})}{b_{n}*s^{n}+b_{n-1}*s^{n-1}+...+b_{0} + K*(a_{n}*s^{n}+a_{n-1}*s^{n-1}+...+a_{0})}.
[/mm]
Für die Pole in anhängigkeit von K löst man nun also:
[mm] b_{n}*s^{n}+b_{n-1}*s^{n-1}+...+b_{0} [/mm] + [mm] K*(a_{n}*s^{n}+a_{n-1}*s^{n-1}+...+a_{0}) [/mm] = 0
Ich kenne das Nyquist-Kriterium usw. Nur frag ich mich, was man genau über diese Pole in Abhängigkeit von K analytisch sagen kann? Wie komplex können diese Trajektorien in Abhängikeit des Grades maximal sein? Plote ich die Trajektorien sehen diese eben leider nicht mehr ähnlich einem Polynom (was mich etwas verwundert, da ja eigentlich eine Polynomgleichung gelöst wird). Mehr so Hyperbel oder Kreisförmig. Schwer zu sagen was für funktionen das sind.
Kann mir jemand vielleicht etwas mehr dazu sagen?
Hier ein Beispiel. Man sieht im Bild oben links eine art Hyperbel, welche die Orte der Nullstellen in Abhängikeit von K beschreibt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüsse!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: fig) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 10.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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