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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe leider gar keine Ahnung wie ich an so eine Aufgabe heran gehen soll. kann mir einer bitte zeigen wie man diese Aufgabe löst?
Wäre sehr nett.
Die Abbildung [mm] f:\IR^3\to\IR^3 [/mm] sei gegeben durch
[mm] f\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{-x_2 + x_3 \\ -3x_1 - 2x_2 + 3x_3 \\ -2x_1 - 2x_2 + 3x_3}
[/mm]
(a) Bestimmen sie darstellende Matrix, charakteristische Polynom und alle Eigenwerte.
(b) Bestimmen sie zu den Eigenwerten [mm] \lambda_1=1 [/mm] und [mm] \lambda_2=-1 [/mm] alle Eigenvektoren
(c) Bestimmen sie ganzzahlige Basen der Eigenraume und machen sie eine begrundetete Aussage
uber die Diagonalisierbarkeit.
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Hallo Mathenull2008,
erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Habe leider gar keine Ahnung wie ich an so eine Aufgabe
> heran gehen soll. kann mir einer bitte zeigen wie man diese
> Aufgabe löst?
Naja, vorrechnen wird dir das wohl kaum einer, ist ja auch nicht Sinn des Forums.
Was sind denn deine Ansätze?
Zumindest Teile der Aufgabe solltest du ansatzweise hinbekommen.
Habt ihr alle Begriffe, die hier auftauchen, definiert?
Wenn ja, wie lauten die Definitionen?
> Wäre sehr nett.
>
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> Die Abbildung f : R³ ---> R³ sei gegeben durch
>
> f [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}[/mm] = [mm]\vektor{-x2 + x3 \\ -3x1 - 2x2 + 3x3 \\ -2x1 - 2x2 + 3x3}[/mm]
>
> (a) Bestimmen sie darstellende Matrix, charakteristische
> Polynom und alle Eigenwerte.
Naja, du wirst doch wissen, wie man ne Darstellungsmatrix berechnet?!
Nimm dir die Standardbasis des [mm] $\IR^3$ [/mm] her, also [mm] $\mathbb{B}=\left\{\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0},\vektor{0\\0\\1}\right\}$
[/mm]
Dann kannst du die Darstellungsmatrix per Hinsehen aufstellen oder du gehst den Weg zu Fuß und bildest die Basisvektoren ab, stellst die Bilder jeweils als LK der Basisvektoren dar und stopfst die dort auftretenden Koeffizienten als Spalten in die gesuchte Matrix
> (b) Bestimmen sie zu den Eigenwerten lamda1=1 und lamda2=-1
> alle Eigenvektoren
Nennen wir die darstellende Matrix $A$. Wie sind die Eigenvektoren zu einem Eigenwert definiert? [mm] \rightarrow [/mm] nachschlagen!
Berechne die Lösungsmenge der Matrixgleichung [mm] $(A-\lambda_i\mathbb{E}_3)\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0\\0\\0}$, [/mm] also den Kern der Matrix [mm] $(A-\lambda_i\mathbb{E}_3)$ [/mm] oder auch den Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda_i$ [/mm] (für i=1,2)
> (c) Bestimmen sie ganzzahlige Basen der Eigenraume und
> machen sie eine begrundetete Aussage
> uber die Diagonalisierbarkeit.
Wie habt ihr Diagonalisierbarkeit definiert? Welche Kriterien gibt's?
Stichwort algebraische Vielfachheit/geometrische Vielfachheit, also Verhältnis von Vielfachheit der Eigenwerte als NST im charakt. Polynom und Dimension des zugeh. Eigenraumes...
Also nun leg' du mal was vor ...
LG
schachuzipus
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die darstellende Matrix ist: [mm] \vektor{0 \\ -3 \\ -2}
[/mm]
[mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ -2} \vektor{1 \\ -2 \\ 3}
[/mm]
lamda*v=f(v)
ERGO: -1* darstellende matrix
und 1*darstellende marix
ist dann die aufgabe a und b gelöst?
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was ist bzg. des charakteristischen polynoms und der eigenwerte? Wie berechne ich das?
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Hi,
wie du die darstellende Matrix bzgl deiner Abbildung aufstellst hat dir schachuzipus ja gut erklärt. Wenn du die Matrix also aufgestellt hast bestimme das charakteristische Polynom mit [mm] \\det(A-\lambda\\E) [/mm] darin ist [mm] \\A=darstellende [/mm] Matrix und [mm] \\E=Einheitsmatrix. [/mm] Anschließend löst du das Polynom. Es wird ein Polynom dritten Grades sein. Mit Lösen meine ich eichfach die Nullstellen berechnen [mm] (det(A-\lambda\\E))=0. [/mm] Die Lösungen sind deine Eigenwerte. Wie du dann die Eigenvektoren berechnest habe ich dir im anderen Post erklärt.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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> die darstellende Matrix ist: [mm]\vektor{0 \\ -3 \\ -2}[/mm][mm]\vektor{-1 \\ -2 \\ -2} \vektor{1 \\ -2 \\ 3}[/mm]
Hallo,
fast.
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> lamda*v=f(v)
>
> ERGO: -1* darstellende matrix
> und 1*darstellende marix
Was meinst Du damit? Was ist hier "ergo"?
Was hasst Du gerechnet, was willst Du sagen?
>
> ist dann die aufgabe a und b gelöst?
Nein, die Aufgabe ist gelöst, wenn noch charakteristisches Polynom, Eigenwerte und die Eigenräume zu 1 und -1 dastehen.
Gruß v. Angela
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was ist an der darstellenden marix falsch? Könnt ihr mir mal bitte die richtige sagen?
Andernfalls kann ich nicht weiterrechnen, da ich den fehler nicht finde
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> was ist an der darstellenden marix falsch?
Hallo,
die letzte Spalte ist verkehrt - vermutlich nur ein Flüchtigkeitsfehler.
Gruß v. Angela
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ok habe jetzt alles außer die letzte aufgabe...
diagonalisierbarkeit haben wir folt definiert:
f: V-->V heißt diagonalisierbar, wenn es eine Basis aus Eigenvektoren gibt.
ich komme leider mit der aufgabenstellung nicht klar...könnte mir da einer ne Antwort geben?
Danke
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Hallo nochmal,
> ok habe jetzt alles außer die letzte aufgabe...
>
> diagonalisierbarkeit haben wir folt definiert:
>
> f: V-->V heißt diagonalisierbar, wenn es eine Basis aus
> Eigenvektoren gibt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ein anderes Kriterium hatte ich dir in meiner ersten Antwort aufgeschrieben...
Hast du dir das durchgelesen??
>
> ich komme leider mit der aufgabenstellung nicht
> klar...könnte mir da einer ne Antwort geben?
>
> Danke
Wo ist das Problem?
Du sagst, dass du die anderen Teile - insbesondere (b) - hast, also hast du doch die Lösung für (c) automatisch.
Wie sehen die Eigenvektoren zu [mm] $\lambda_1=1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2=-1$ [/mm] aus?
Schreibe die mal auf!
Dann prüfe, ob die ne Basis (des [mm] \IR^3) [/mm] bilden...
Falls ja, hast du deine Basis aus Eigenvektoren und die Matrix ist diagonalisierbar
Oder benutze (kürzer) direkt das o.e. Kriterium mit der algebraischen und geometrischen VFH
Gruß
schachuzipus
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