Polynome < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Mi 07.11.2012 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | | Hallöchen! Die Aufgabenstellung: Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper und [mm] $p,p'\in \IK[X]$ [/mm] mit [mm] $\operatorname{ggT}(p, [/mm] p')=1$. Dann existieren [mm] $q,q'\in \IK[X]$ [/mm] mit $pq+p'q'=1$ |
Mir fehlt der Ansatz wie ich an diese Behauptung herangehen soll. Wenn ich die Teilbarkeit auf natürliche Zahlen übertrage, dann gibt es kein Polynom [mm] $P\not\equiv [/mm] 1$, das $p$ und $p'$ teilt.
Nur wie hilft mir das weiter?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Mi 07.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallöchen! Die Aufgabenstellung: Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper und
> [mm]p,p'\in \IK[X][/mm] mit [mm]\operatorname{ggT}(p, p')=1[/mm]. Dann
> existieren [mm]q,q'\in \IK[X][/mm] mit [mm]pq+p'q'=1[/mm]
> Mir fehlt der Ansatz wie ich an diese Behauptung
> herangehen soll. Wenn ich die Teilbarkeit auf natürliche
> Zahlen übertrage, dann gibt es kein Polynom [mm]P\not\equiv 1[/mm],
> das [mm]p[/mm] und [mm]p'[/mm] teilt.
>
> Nur wie hilft mir das weiter?
Schau mal hier.
http://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Bezout
Der Beweis funktioniert (fast) wörtlich auch in Deiner Situation.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mi 07.11.2012 | | Autor: | saendra |
Hi Fred,
in dem für mich relevanten Teil des Beweises ( ggT=1 ) steht ja nur, dass $ [mm] \operatorname{ggT}(p, [/mm] p')=1 $ p, p' und 1 teilt. Damit sei die Aussage bewiesen. Aber das die 1 jede Zahl/Polynom teil ist doch klar, deshalb erstehe ich das nicht.
Oder meinst du den Teil mit den Hauptidealen? Den Begriff hatten wir leider noch nicht.
|
|
|
| |
|
Hallo saendra,
hmpf. Was heißt denn [mm] \ggT [/mm] ?
> in dem für mich relevanten Teil des Beweises ( ggT=1 )
> steht ja nur, dass [mm]\operatorname{ggT}(p, p')=1[/mm] p, p' und 1
> teilt. Damit sei die Aussage bewiesen. Aber das die 1 jede
> Zahl/Polynom teil ist doch klar, deshalb erstehe ich das
> nicht.
Dass ist doch auch gar nicht die Aussage. Natürlich teilt die 1 jede Zahl und jedes Polynom (sofern sie auch das Einselement ist  )...
> Oder meinst du den Teil mit den Hauptidealen? Den Begriff
> hatten wir leider noch nicht.
Hm, das machts ein bisschen schwierig.
Was darfst Du denn verwenden?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Mi 07.11.2012 | | Autor: | saendra |
Bis auf wie die Darstellung eines Polynoms aussieht, wenn man Polynomdivsion macht, noch nichts. Vielleicht kommt es ja morgen in der Vorlesung dran und wenn ich Glück habe mache ich morgen nicht die üblichen 100 Abschreibfehler, weil morgen der Professor vielleicht endlich einmal leserlich schreibt (kleiner Scherz am Rande, das wird bestimmt niemals passieren  )
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Do 08.11.2012 | | Autor: | saendra |
Hey ihr! Der Begriff ist auch heute nicht gefallen, deshlab muss ich das wohl irgendiwe andershinbekommen, nur leider ist mir immer noch keine Idee gekommen....
Hat jemand von euch eine Idee?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Fr 09.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hey ihr! Der Begriff ist auch heute nicht gefallen, deshlab
> muss ich das wohl irgendiwe andershinbekommen, nur leider
> ist mir immer noch keine Idee gekommen....
>
> Hat jemand von euch eine Idee?
Kennst du den (erweiterten) euklidischen Algorithmus?
Bzw. kennst du eine aehnliche Aussage fuer ganze Zahlen, evtl. aus der Vorlesung?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Fr 09.11.2012 | | Autor: | saendra |
nein, leider nicht aus der Vorlesung, aber der Übungsgruppenleiter meinte heute wir dürfen diesen ohne Beweis verwenden. Also ich schaue ihn mir mal an und mlede mich falls ich Hilfe brauche.
Findest du soetwas komisch, dass man sich um eine Aufgabe lösen zu können in etwas neues einlesen muss? Ich hoffe das geht nicht so weiter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Sa 10.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> nein, leider nicht aus der Vorlesung, aber der
> Übungsgruppenleiter meinte heute wir dürfen diesen ohne
> Beweis verwenden. Also ich schaue ihn mir mal an und mlede
> mich falls ich Hilfe brauche.
viel Erfolg!
> Findest du soetwas komisch, dass man sich um eine Aufgabe
> lösen zu können in etwas neues einlesen muss? Ich hoffe
> das geht nicht so weiter
Nun, es sollte nicht die Regel sein. Vielleicht ist es hier passiert, dass der euklidische Algorithmus eigentlich schon haette drankommen sollen, aber es nicht mehr zeitlich gepasst hat.
Allerdings ist Uni auch nicht Schule, und man darf (ab und an) schon erwarten, dass Studenten etwas selbststaendiger arbeiten als Schueler :)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Sa 10.11.2012 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | | Sei $ [mm] \IK [/mm] $ ein Körper und $ [mm] p,p'\in \IK[X] [/mm] $ mit $ [mm] \operatorname{ggT}(p, [/mm] p')=1 $. Dann existieren $ [mm] q,q'\in \IK[X] [/mm] $ mit $ pq+p'q'=1 $ |
Hey, danke felixf.
Ich habe mir den erweiterten euklidischen Algorithmus für natürliche Zahlen einmal angeschaut und auch ein Beispiel dazu gerechnet. Jetzt ist nur die Frage: Wie übertrage ich das auf meine Aufgabe?
Das Schema ist ja [mm] $p=q\cdot [/mm] p'+r$ bzw. [mm] $p'=q\cdot [/mm] p+r$ je nach dem, welches der Polynome $p,p'$ höhergradig ist. Sei OE $p$ höhergradig.
Aber da ich nicht weiß, wie $p$ und $p'$ aussehen, kann ich den eEA doch gar nicht durchführen, oder? Oder muss ich jetzt 2 allgemeine Polynome [mm] $p=x^n+k_{n-1}x^{n-1}+...+k_0$ [/mm] und [mm] $p'=x^m+l_{m-1}x^{m-1}+...+l_0$ [/mm] nehmen und es damit versuchen? (Müssen diese normiert sein?)
Ich weiß ja nur, dass in der letzten (i-ten) Zeile so etwas wie
[mm] $p_i=q_i\cdot \operatorname{ggT}(p,p')+0$ [/mm] steht...
Ihr seht schon ich bbrauche Hilfe...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 So 11.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper und [mm]p,p'\in \IK[X][/mm] mit
> [mm]\operatorname{ggT}(p, p')=1 [/mm]. Dann existieren [mm]q,q'\in \IK[X][/mm]
> mit [mm]pq+p'q'=1[/mm]
>
> Ich habe mir den erweiterten euklidischen Algorithmus für
> natürliche Zahlen einmal angeschaut und auch ein Beispiel
Vermutlich eher fuer ganze Zahlen?
> dazu gerechnet. Jetzt ist nur die Frage: Wie übertrage ich
> das auf meine Aufgabe?
Fast wort-woertlich, nur dass du Betrag durch Grad der Polynome ersetzt.
> Das Schema ist ja [mm]p=q\cdot p'+r[/mm] bzw. [mm]p'=q\cdot p+r[/mm] je nach
> dem, welches der Polynome [mm]p,p'[/mm] höhergradig ist. Sei OE [mm]p[/mm]
> höhergradig.
>
> Aber da ich nicht weiß, wie [mm]p[/mm] und [mm]p'[/mm] aussehen, kann ich
Brauchst du ja auch nicht.
> den eEA doch gar nicht durchführen, oder? Oder muss ich
Doch.
> jetzt 2 allgemeine Polynome [mm]p=x^n+k_{n-1}x^{n-1}+...+k_0[/mm]
> und [mm]p'=x^m+l_{m-1}x^{m-1}+...+l_0[/mm] nehmen und es damit
> versuchen?
Nein. Wenn du dir Beweise zum euklidischen Algorithmus fuer ganze Zahlen anschaust, wird ja dort auch nicht mit konkreten Zahlen gearbeitet. Du verwendest einfach, dass der Betrag in jedem Schritt kleiner ist. Und da er eine natuerliche Zahl ist, hoert das ganze irgendwann auf. Das ist bei Polynomen genauso, wenn du den Grad anstelle des Betrags anschaust.
> (Müssen diese normiert sein?)
Ebenfalls nein.
> Ich weiß ja nur, dass in der letzten (i-ten) Zeile so
> etwas wie
>
> [mm]p_i=q_i\cdot \operatorname{ggT}(p,p')+0[/mm] steht...
Du brauchst eher die Zeile davor: dort steht dann [mm] $p_{i-1} [/mm] = [mm] q_{i-1} \cdot r_{i-1} [/mm] + [mm] \operatorname{ggT}(p, [/mm] p')$. Das kannst du zu [mm] $\operatorname{ggT}(p, [/mm] p') = ...$ umformen und der Reihe nach von unten nach oben einsetzen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Mi 14.11.2012 | | Autor: | saendra |
Super, es hat geklappt! Vielen lieben Dank!
|
|
|
|
