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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Di 06.05.2008 | | Autor: | svenpile |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und n [mm] \in \IN \setminus [/mm] {0}. Seien A, B [mm] \in [/mm] M (n,K). Zeigen sie, dass es ein Polynom [mm] f\in [/mm] K[T] mit deg [mm] (f)\le [/mm] n gibt mit der Eigenschaft:
[mm] \forall t\in [/mm] K: f(t)= det (A+tB).
Bestimmen sie die Koeffizienten von [mm] T^{n} [/mm] und [mm] T^{0} [/mm] von f. |
Ich komme mit der Aufgabe leider gar nicht zurecht. Könnte mir jemand helfen?
Beste Grüße
Sven
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Di 06.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Sven
> Sei K ein Körper und n [mm]\in \IN \setminus[/mm] {0}. Seien A, B
> [mm]\in[/mm] M (n,K). Zeigen sie, dass es ein Polynom [mm]f\in[/mm] K[T] mit
> deg [mm](f)\le[/mm] n gibt mit der Eigenschaft:
>
> [mm]\forall t\in[/mm] K: f(t)= det (A+tB).
>
> Bestimmen sie die Koeffizienten von [mm]T^{n}[/mm] und [mm]T^{0}[/mm] von f.
>
> Ich komme mit der Aufgabe leider gar nicht zurecht. Könnte
> mir jemand helfen?
Es waere sehr hilfreich, wenn du etwas genauer sein koenntest, wo du bei dieser Aufgabe Probleme hast. Hast du schonmal versucht das fuer kleine Matrizen $A$, $B$ auszurechnen?
Versuch das doch erstmal ``formal'' zu machen, schau dir also die Matrix $A + T B$ an, deren Eintraege Polynome mit der Unbestimmten $T$ sind, und bilde davon die Determinante (dass du das darfst weisst du noch nicht, aber du kannst es formal ja einfach mal tun). Herauskommen tut das gesuchte Polynom $f$.
Beweisen, dass du so vorgehen darst, kannst du z.B. mit Hilfe der Leibnizformel.
LG Felix
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