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| Aufgabe | Sei K ein Körper und n [mm] \in \IN [/mm] \ {0}. Seien A,B [mm] \in [/mm] M(n,K). Zeigen Sie, dass es ein Polynom f [mm] \in [/mm] K[T] mit deg(f) [mm] \le [/mm] n gibt mit der Eigenschaft:
[mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] K : f(t) = det(A+tB) |
hat jemand ne Idee, wie man da rangeht???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Fr 02.05.2008 | | Autor: | pelzig |
1) Wie sieht $A+tB$ aus?
2) Mach dir klar dass [mm]f:=\det(A+tB)\in K[t][/mm] ist
3) zeiges dass [mm] $\deg f\le [/mm] n$ ist (z.B. Leibnizformel der Determinanten)
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Danke erstmal!
Aber kannst du mir das etwas genauer erklären??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Fr 02.05.2008 | | Autor: | pelzig |
1) Die Matrix $A+tB$ sieht ja irgendwie so aus:
[mm] $\pmat{a_{11}+tb_{11}&...&a_{1n}+tb_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{n1}+tb_{1n}&...&a_{nn}+tb_{nn}}$
[/mm]
2+3) Die Determinante ist ein eine Summe von Produkten von jeweils n Einträgen der Matrix. Jedes dieser Produkte ist also ein Polynom mit Grad kleinergleich n...
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:15 Fr 02.05.2008 | | Autor: | mattemonster |
Ja ok, danke...ich versteh jetzt so ungefähr, was du meinst...aber wie zeig ich das jetzt sauber?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Fr 02.05.2008 | | Autor: | pelzig |
>[...] aber wie zeig ich das jetzt sauber?
Ja fang doch einfach mal an... an welcher Stelle hast du Probleme?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:51 Fr 02.05.2008 | | Autor: | mattemonster |
Ah ja, ok, ich glaub, ich habs jetzt....danke!
Jetzt soll ich noch die Koeffizienten von [mm] T^{n} [/mm] und [mm] T^{0} [/mm] von f bestimmen....wie mach ich des jetzt?
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> Ah ja, ok, ich glaub, ich habs jetzt....danke!
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> Jetzt soll ich noch die Koeffizienten von [mm]T^{n}[/mm] und [mm]T^{0}[/mm]
> von f bestimmen....wie mach ich des jetzt?
Hallo,
wenn du mal zeigen würdest, was Du bereits hast, könnte man Dir ja daran konkret weiterhelfen.
So ist das schwierig - zumal wir weder alles allein vorrechnen noch aufschreiben wollen.
Da Du so in den blauen Dunst hinein fragst, kann man auch nur aus dem blauen Dunst und sicher etwas unbefriedigend antworten: schau Dir halt die Koeffizienten vor [mm] T^n [/mm] und [mm] T^0 [/mm] an...
Gruß v. Angela
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