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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:53 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Marty |
| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IR \mapsto \IR, [/mm] sodass
[mm] f(x):=\begin{cases} exp(\bruch{1}{x^2-1}), & \mbox{falls } x\in \mbox{ (-1,1)} \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass es ein Polynom [mm] P_n [/mm] gibt, sodass
[mm] f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] P_n(x) exp(\bruch{\bruch{1}{x^2-1}}{(1-x^2)^{(2n)}}) [/mm] ,für [mm] x\in(-1,1) [/mm] und [mm] n\in \IN.
[/mm]
Hier bedeutet [mm] f^{(n)} [/mm] die nte Ableitung von f. (Es ist nicht erforderlich, eine Formel für [mm] P_n [/mm] anzueben.)
b) Leiten Sie her, dass [mm] f\in C^{\infty}_C (\IR). [/mm] |
Hallo,
Bei der a) habe ich schon ziemlich viel herumprobiert, aber mir fehlt einfach ein guter Ansatz... Hat jemand eine Idee?
bei der b) weiß ich nicht mal, was ich hier eigentlich zeigen soll!
Soll ich untersuchen, ob f stetig ist?
Gruß
Marty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Fr 07.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:18 So 09.12.2007 | | Autor: | Marty |
| Aufgabe | | c) Zeigen Sie, dass f [mm] \in C^{0}_{c} [/mm] (IR) also f stetig ist und kompakten Träger besitzt. Zeichnen Sie die Funktion f. |
Hallo,
c)
Die Stetigkeit habe ich versucht so zu zeigen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}f(x)=f(1)
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} exp(\bruch{1}{x^2-1}) [/mm] = 1 = f(1)
Jetzt habe ich aber nur die Stetigkeit im Punkt 1 gezeigt.
Reicht das, oder muss ich hier noch die Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich zeigen?
Als Träger habe ich [-1,1].
zur a)
um zu bewiesen, dass f unendlich oft differenzierbar ist, muss ich zeigen, dass alle Ableitungen existieren und in [mm] x=\pm1 [/mm] gleich 0 sind...
f'(x) = [mm] -\bruch{2x}{(x^2-1)^2}exp(\bruch{1}{x^2-1})
[/mm]
[mm] \rigtarrow [/mm] f'(1) = 0 = f'(-1)
Wie geht es denn jetzt weiter?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Di 11.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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