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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Sofie33 |
| Aufgabe | Geben sie alle Polynome [mm] f(x)\in [/mm] R[x] an, für die gilt
a) f'(x) = f(x+1)
b) f'(x) = f(x)+1 |
Ich habe schon denke ich alles Probiert. Die Summen von den Polynomen und die Summe der abbleitung der Polynom gleichgestzt. Mit ausprobieren hab ich es auch schon probiert. Vielleicht übersehe etwas oder ich bin zu blöd.
Ich hoffe es kann mir jemand einen Tipp geben.
" Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
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> Geben sie alle Polynome [mm]f(x)\in[/mm] R[x] an, für die gilt
> a) f'(x) = f(x+1)
> b) f'(x) = f(x)+1
Hallo,
zu a)
wenn Du ein Polynom vom Grad [mm] n\ge [/mm] 1 hast, welchen grad hat dann das Ableitungspolynom?
Welchen Grad hat das Polynom f(x+1)?
zu b)
Welchen Grad hat das Polynom f(x)+1?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Sofie33 |
Wenn der Grad [mm] n\ge [/mm] 1 ist dann ist die Ableitung n-1.
Aber wie komme ich zu meinem gesuchten Polynom?
Ich hatte die Summe von p'(x) mit p(x+1) gleich gesetzt.
muss ich nicht auf ein Polynom der Form [mm] a+a2^2 [/mm] +...... kommen?
Wenn zum Beispiel eine funktion lautet:
f = [mm] 2*x^{3}+4
[/mm]
f' = [mm] 6x^{2}
[/mm]
Wenn ich für x nun 2 einsetze in f' = 24
Und ich dieses x in f für x+1 f(x+1)=58
Somit ist doch f'(x) [mm] \not=f(x+1)
[/mm]
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> Wenn der Grad [mm]n\ge[/mm] 1 ist dann ist die Ableitung n-1.
>
> Aber wie komme ich zu meinem gesuchten Polynom?
Denk Dich langsam vorwärts.
Du hast ein Polynom p(x) vom Grad [mm] n\ge [/mm] 1.
Die Ableitung ist, wie Du richtig sagst, vom Grad n-1.
Ich hatte Dich noch gefragt: welchen Grad hat das Polynom p(x+1)?
Welchen???
>
> Ich hatte die Summe von p'(x) mit p(x+1) gleich gesetzt.
Ganz gute Idee.
> Wenn zum Beispiel eine funktion lautet:
> f = [mm]2*x^{3}+4[/mm]
f(x)= [mm] 2*x^{3}+4
[/mm]
> f' = [mm]6x^{2}[/mm]
f'(x) = [mm] 6x^{2}
[/mm]
Der Gedanke, die Sache an einem Beispiel durchzuspielen, ist gut.
Was ist denn nun f(x+1) ?
f(x+1)=...
> Wenn ich für x nun 2 einsetze in f' = 24
> Und ich dieses x in f für x+1 f(x+1)=58
> Somit ist doch f'(x) $ [mm] \not=f(x+1) [/mm] $
Tja, dann ist in diesem Fall eben nicht f'(x)=f(x+1).
Das hat ja auch niemand behauptet, das das immer so ist.
Du sollst die wenigen Fälle herausfinden, in denen das klappt.
Mal angenommen, Du findest heraus, daß das für Polynome vom Grad [mm] \ge [/mm] 1 gar nicht geht - dann müßtest Du noch über die Polynome vom Grad 0 nachdenken, um das Problem komplett behandelt zu haben.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Sofie33 |
Also noch mal
für p(x) und [mm] n\ge1 [/mm] ist die ableitung n-1
für p(x+1) und [mm] n\ge1 [/mm] ist die ableitung [mm] p'(x+1)^{n-1}
[/mm]
Ich habe ein paar Versuche mit [mm] x^{0} [/mm] gemacht.
f(x) = [mm] x^{0} [/mm] ist für alle x = 1
die Ableitung musste dann ja f'(x)=0 sein oder?
[mm] f'(x)=0\not=f(x+1) [/mm] = 1
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> für p(x) und [mm]n\ge1[/mm] ist die ableitung n-1
Bring Dich doch nicht selbst durch Schlamperei durcheinander!
Wenn p vom grad n ist [mm] (n\ge [/mm] 1), dann ist die Ableitung vom Grad n-1.
> für p(x+1) und [mm]n\ge1[/mm] ist die ableitung [mm]p'(x+1)^{n-1}[/mm]
Die Ableitung von p(x+1) ist für die Fragestellung (s. Aufgabe) völlig uninteressant.
Interessant ist die Frage, welchen Grad das Polynom p(x+1) hat.
Dies interessiert, weil man den Grad von p'(x) und p(x+1) dann vergleichen kann und feststellen, ob es möglich ist, daß p'(x)=p(x+1).
>
> Ich habe ein paar Versuche mit [mm]x^{0}[/mm] gemacht.
> f(x) = [mm]x^{0}[/mm] ist für alle x = 1
> die Ableitung musste dann ja f'(x)=0 sein oder?
>
> [mm]f'(x)=0\not=f(x+1)[/mm] = 1
Tja, dann wird das für dieses Polynom auch nicht klappen...
Aber es gibt ja noch mehr Polynome vom Grad 0.
Betrachte doch [mm] g(x)=ax^0. [/mm] Dann ist g(x+1)=...
Unter welchen Umständen ist denn g'(x)=g(x+1)? Wie mußt Du a wählen?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Sofie33 |
Schon Klar. wenn ich [mm] g(x)=ax^{o} [/mm] dann ist [mm] g(x+1)=a(x+1)^{0}
[/mm]
g'(x)=0
und wenn ich nun a = 0 wähle ist auch [mm] g(x+1)=0(x+1)^{0}=0
[/mm]
also ist das einzige Polynom für das f'(x)=f(x+1) gilt = [mm] ax^{0} [/mm] für a=0
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