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| Aufgabe | Bestimmen Sie durch Polynomdivision alle Nullstellen (ggf. in [mm] \IC) [/mm] von
a) p1(x) = x3 - 5x2 + 9x - 5
b) p2(x) = x3 - (2i + 1)x2 + (i + 1)x - 2 - 2i
Begründen Sie, warum
c) p3(x) = x3 + a2x2 + a1x + a0
mit reellen Koeffizienten a2; a1; a0 [mm] \in \IR
[/mm]
garantiert eine reelle Nullstelle hat. (Mit anderenWorten: nach dem Fundamentalsatz der Algebra
hat p3 drei Nullstellen in [mm] \IC [/mm] – warum ist eine davon sogar in [mm] \IR?) [/mm] |
a) p1(x) = x3 - 5x2 + 9x - 5
x1= 1
nach polynomdivision:
[mm] 0=x^2-4x+5
[/mm]
x2= [mm] -2+\wurzel{-1} [/mm] = -2+i
x3= -2- [mm] \wurzel{-1} [/mm] = -2-i
b) wie bekomme ich hier eine nullstelle raus ohne raten? ich mache das eig immer mit dem taschenrechner, aber komplexe zahlen kennt mein taschenrechner nicht
EDIT: eine nullstelle ist -1 oder?
c) was ist die begründung?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Sa 14.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie durch Polynomdivision alle Nullstellen (ggf.
> in [mm]\IC)[/mm] von
>
> a) p1(x) = x3 - 5x2 + 9x - 5
>
> b) p2(x) = x3 - (2i + 1)x2 + (i + 1)x - 2 - 2i
>
> Begründen Sie, warum
> c) p3(x) = x3 + a2x2 + a1x + a0
>
> mit reellen Koeffizienten a2; a1; a0 [mm]\in \IR[/mm]
> garantiert
> eine reelle Nullstelle hat. (Mit anderenWorten: nach dem
> Fundamentalsatz der Algebra
> hat p3 drei Nullstellen in [mm]\IC[/mm] – warum ist eine davon
> sogar in [mm]\IR?)[/mm]
Nutze doch bitte das "Dach" für die Exponenten, und den Unterstrich für Indizes.
>
> a) p1(x) = x3 - 5x2 + 9x - 5
>
> x1= 1
>
> nach polynomdivision:
>
> [mm]0=x^2-4x+5[/mm]
>
> x2= [mm]-2+\wurzel{-1}[/mm] = -2+i
> x3= -2- [mm]\wurzel{-1}[/mm] = -2-i
Korrekt ist, dass [mm] f(x)=x^3-5x^2+9x-5=(x-1)\cdot(x^{2}-4x+5)
[/mm]
Aber [mm] x^{2}-4x+5 [/mm] fürht zu anderen Nullstellen als deine.
>
> b) wie bekomme ich hier eine nullstelle raus ohne raten?
> ich mache das eig immer mit dem taschenrechner, aber
> komplexe zahlen kennt mein taschenrechner nicht
>
> EDIT: eine nullstelle ist -1 oder?
Nein:
[mm] p_{2}(-1)=(-1)^{3}-(2i+1)\cdot(-1)^{2}+(i+1)\cdot(-1)-2-2i=-1-2i-1-i-1-2-2i\ne0
[/mm]
Besser wäre:
[mm] p_2(x)=x^3-(2i+1)x^2+(i+1)x-2-2i
[/mm]
[mm] =p_2(x)=x^3-(2i+1)x^2+(i+1)x-2(1+i)
[/mm]
Nun teste die Teiler von 2(1+i), um eine Nullstelle zu erraten. Da bleiben ja nur 1, -1, 2, -2 (1+i), -(1+i)
>
> c) was ist die begründung?
Betrachte mal die Grenzwerte
[mm] \lim\limits_{x\to\infty}p_{3}(x)
[/mm]
und
[mm] \lim\limits_{x\to-\infty}p_{3}(x)
[/mm]
Danach betrachte mal den Zwischenwertsatz.
Marius
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> Nutze doch bitte das "Dach" für die Exponenten, und den
> Unterstrich für Indizes.
sry habe das wegen copy and past wohl übersehen
> Korrekt ist, dass
> [mm]f(x)=x^3-5x^2+9x-5=(x-1)\cdot(x^{2}-4x+5)[/mm]
>
> Aber [mm]x^{2}-4x+5[/mm] fürht zu anderen Nullstellen als deine.
also ich habe das mit der mitternachtsformel gemacht:
[mm] X_2= -\bruch{-4}{2*1}+\wurzel{(\bruch{-4}{2*1}=^2-\bruch{5}{1}}
[/mm]
= [mm] 2+\wurzel{-1}
[/mm]
wenn ich die guadratische ergänzung mache, komme ich auch auf die selbe lösung:
[mm] x^{2}-4x+5=0
[/mm]
(x-2)=-1
[mm] x=\wurzel{-1}+2
[/mm]
EDIT: ahh ok ich habe mein fehler entdeckt --> vorzeichen fehler
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Sa 14.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Nutze doch bitte das "Dach" für die Exponenten, und den
> > Unterstrich für Indizes.
>
> sry habe das wegen copy and past wohl übersehen
Kann passieren.
>
>
> > Korrekt ist, dass
> > [mm]f(x)=x^3-5x^2+9x-5=(x-1)\cdot(x^{2}-4x+5)[/mm]
> >
> > Aber [mm]x^{2}-4x+5[/mm] fürht zu anderen Nullstellen als deine.
>
> also ich habe das mit der mitternachtsformel gemacht:
>
> [mm]X_2= \bruch{-4}{2*1}+\wurzel{(\bruch{-4}{2*1}=^2-\bruch{5}{1}}[/mm]
>
> = [mm]2+\wurzel{-1}[/mm]
Jetzt passe es, [mm] x_{2}=2+i [/mm] und [mm] x_{3}=2-i
[/mm]
>
> wenn ich die guadratische ergänzung mache, komme ich auch
> auf die selbe lösung:
>
> [mm]x^{2}-4x+5=0[/mm]
>
> (x-2)=-1
>
> [mm]x=\wurzel{-1}+2[/mm]
>
> EDIT: ahh ok ich habe mein fehler entdeckt --> vorzeichen
> fehler
Yep.
Marius
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:54 Mo 16.12.2013 | | Autor: | arbeitsamt |
EDIT:
stop ich habe mein fehler entdeckt. die frage ist nicht mehr gültig
> Besser wäre:
> [mm]p_2(x)=x^3-(2i+1)x^2+(i+1)x-2-2i[/mm]
> [mm]=p_2(x)=x^3-(2i+1)x^2+(i+1)x-2(1+i)[/mm]
>
> Nun teste die Teiler von 2(1+i), um eine Nullstelle zu
> erraten. Da bleiben ja nur 1, -1, 2, -2 (1+i), -(1+i)
>
ich finde den nullteiler nicht
[mm] (1+i)^2=0 [/mm] daraus folgt [mm] (1+i)^3=0
[/mm]
das selbe gilt für [mm] (-1-i)^2=0 [/mm] und [mm] (-1-i)^3=0
[/mm]
dann bleibt von der gleichung:
p(x)= [mm] x^3- [/mm] (2i + [mm] 1)x^2+(i [/mm] + 1)x - 2 - 2i
nur (i + 1)x - 2 - 2i übrig
(i + 1)(1+i)- 2 - 2i [mm] \not= [/mm] 0
und
(i + 1)(-1-i)- 2 - 2i [mm] \not= [/mm] 0
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ok ich habe jetzt für 1b) endlich eine nullstelle gefunden
2i ist eine nullstelle
ich weiß jetzt nicht wirklich wie ich die polynomdivision machen soll
soll ich erstma die klammern ausmultiplizierieren?
mein rechenweg ist im anhang? kann man das so machen? richtig ist die lösung anscheinend nicht
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo arbeitsamt,
> ok ich habe jetzt für 1b) endlich eine nullstelle
> gefunden
>
> 2i ist eine nullstelle
>
> ich weiß jetzt nicht wirklich wie ich die polynomdivision
> machen soll
>
> soll ich erstma die klammern ausmultiplizierieren?
>
> mein rechenweg ist im anhang? kann man das so machen?
> richtig ist die lösung anscheinend nicht
Die Polynomdivision kannst Do so machen.
Leider hat sich hier ein Rechenfehler eingeschlichen.
Es ist doch:
[mm]\[{x}^{3}-\left( 2\,i+1\right) \,{x}^{2}+\left( i+1\right) \,x-2\,i-2\]-\left(x^{3}-2i*x^2\right)=\[-{x}^{2}+i\,x+x-2\,i-2\][/mm]
Gruss
MathePower
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okey nach der polynomdivision habe ich folgende gleichung
0= x²-x-i+1
[mm] x_2/3= -\bruch{-1}{2*1}+-\wurzel{(\bruch{-1}{2*1})^2-\bruch{-i+1}{1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}+-\wurzel{\bruch{1}{4}+\bruch{i}{1}-1}= \bruch{1}{2}+-\wurzel{\bruch{-3}{4}+\bruch{i}{1}}= \bruch{1}{2}+-\wurzel{\bruch{3i^2}{4}+\bruch{4i}{4}}= \bruch{1}{2}+-\wurzel{\bruch{7i^2}{4}}= [/mm] 2,5+- [mm] i*\bruch{\wurzel{7}}{4}
[/mm]
ich bitte um korrektur
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Di 17.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> okey nach der polynomdivision habe ich folgende gleichung
>
> 0= x²-x-i+1
>
> [mm]x_2/3= -\bruch{-1}{2*1}+-\wurzel{(\bruch{-1}{2*1})^2-\bruch{-i+1}{1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}+-\wurzel{\bruch{1}{4}+\bruch{i}{1}-1}= \bruch{1}{2}+-\wurzel{\bruch{-3}{4}+\bruch{i}{1}}= \bruch{1}{2}+-\wurzel{\bruch{3i^2}{4}+\bruch{4i}{4}}= \bruch{1}{2}+-\wurzel{\bruch{7i^2}{4}}=[/mm]
> 2,5+- [mm]i*\bruch{\wurzel{7}}{4}[/mm]
Das stimmt hinten und vorne nicht.
Bei Dir ist [mm] 3i^2+4i=7i.
[/mm]
Das ist so ähnlich wie
3 Äpfel+4 Birnen= 7 Äpfel.
FRED
>
> ich bitte um korrektur
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Di 17.12.2013 | | Autor: | arbeitsamt |
oh stimmt
peinlicher fehler
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