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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Nullstellen:
[mm] f(x)=x^{4}+x^{3}-2x^{2} [/mm] |
Hallo,
ich versuche hier gerade die Nullstellen auszurechnen.
Also ich habe erst einmal durch Raten herausgefunden, dass bei der Stelle x=1 eine Nullstelle ist.
Dann habe ich die Polynomdivision durchgeführt:
[mm] (x^{4}+x^{3}-2x^{2}):(x-1)= x^{3}+2x^{2}
[/mm]
Jetzt versuche ich mithilfe der 3. Binomischen Formel die Nullstellen ablesen zu können, aber irgendwie kriege ich das nicht hin... Kann mir bitte jemand helfen?
Vielen Dank
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Hallo,
> Bestimmen Sie die Nullstellen:
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> [mm]f(x)=x^{4}+x^{3}-2x^{2}[/mm]
> Hallo,
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> ich versuche hier gerade die Nullstellen auszurechnen.
> Also ich habe erst einmal durch Raten herausgefunden, dass
> bei der Stelle x=1 eine Nullstelle ist.
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> Dann habe ich die Polynomdivision durchgeführt:
> [mm](x^{4}+x^{3}-2x^{2}):(x-1)= x^{3}+2x^{2}[/mm]
Das ist zwar bis dahin richtig, aber es ist hier der völlig falsche Ansatz. Man kann das Polynom hier faktorisieren, indem man [mm] x^2 [/mm] ausklammert. Dabei zerfällt es in zwei quadratische Terme, d.h. das wäre jetzt ein Fall für die pq-Formel.
> Jetzt versuche ich mithilfe der 3. Binomischen Formel die
> Nullstellen ablesen zu können, aber irgendwie kriege ich
> das nicht hin... Kann mir bitte jemand helfen?
Und was um alles in der Welt soll das mit der 3. binomischen Formel zu tun haben?
Es ist
[mm] 2x^3-2x^2=2x^2*(x+1)
[/mm]
Jetzt kann man die Lösungen wieder ablesen.
Du solltest dich mal auf irgendeinem Wege mit der Problematik des Lösens algebraischer Gleichungen auseinandersetzen, vielleicht auch mit dem historischen Hintergrund. Heutzutage wissen wir, dass man solche Gleichungen vom Typ 'Polynom=Null', wir nennen sie algebraische Gleichungen bis zur 4. Ordnung generell lösen kann, während dies ab der 5. Ordnung im allgemeinen überhaupt nicht mehr möglich ist.
Gelingt das Lösen linearer Gleichungen noch mittels Äquivalenzumformungen, muss man bei quadratischen Gleichungen schon zu dem Trick der quadratischen Ergänzung greifen (die pq-Formel ist nichts anderes, als eine Formalisierung dieses Verfahrens). Dieses wurde um das Jahr 800 von einem ![[]](/images/popup.gif) geschätzten Mitglied des Matheraums  unter dem Namen al-jabr erstmals in Buchform publiziert und war damit namensgebend für unser heutiges Wort Algebra.
Für die 3. und 4. Ordnung haben die Italiener Cardano sowie Ferrari Lösungsverfahren gefunden, die auf komplexen Zahlen basieren und für die Schule (zumindest im deutschsprachigen Raum) als zu schwierig erachtet werden, daher hört man heutzutage nichts mehr davon.
Erst im 19. Jahrhundert gelang es Niels Henrik Abel zu zeigen, dass man eben ab der 5. Ordnung im allgemeinen auf analytischem Weg nicht mehr weiterkommt.
Was will ich dir damit sagen: diese ganzen Tricks wie Faktorisieren, Substituieren und Polynomdivision inkl. des Erratens ganzzahliger Lösungen (was auch nicht so selbstverständlich ist, lass mal x=47110815007 sein...), die lernst du, um in Ausnahmefällen dennoch zu einer analytischen (:=exakten) Lösung zu kommen. Und das sind eben keine Strickmuster, die man so runterrechnet, sondern du musst sie als auffassen als das was sie sind: als Tricks, die dir bekannt sind. Und du solltest einen Riecher dafür entwickeln, wann welcher Trick funktioniert. Um dafür eine Notwendigkeit zu sehen, sollte man ja aber eigentlich über die oben geschilderte Grundproblematik in groben Zügen Bescheid wissemn. Ich habe das in den 80ern letztes Jahrhundert noch in epischer Breite in der Schule gelernt, will sagen: was ich oben geschrieben habe ist im Wesentlichen Schulwissen von früher. Leider wird so etwas heutzutage irgendwelchen verqueren praktischen Gesichtspunkten geopfert...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 So 01.12.2013 | | Autor: | leasarfati |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort; ja ich verstehe langsam, was mit den "Tricks" gemeint ist. Sie haben Recht: Wir haben diese Sachen zwar in der Schule gelernt, aber das kommt viel zu kurz:( Das letzte Mal, dass ich so etwas gemacht habe war in der 9. Klasse, schon etwas länger her....
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Ich habe noch eine Frage:
Ich habe jetzt also [mm] x^{2} [/mm] ausgeklammert: [mm] x^{2}(x^{2}+x-2). [/mm] Aber wie lässt sich jetzt die pq-Formel anwenden?
Ist dann p=x und q=-2 ??
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Hallo
q=-2 ist ok
p ist der vor x stehende Faktor (manche Faktoren werden nicht geschrieben)
Steffi
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Ist Folgendes dann richtig?:
x1,2= [mm] -\bruch{1}{2}+\wurzel{(\bruch{1}{2}^{2})+2}
[/mm]
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> Ist Folgendes dann richtig?:
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> x1,2= [mm]-\bruch{1}{2}+\wurzel{(\bruch{1}{2}^{2})+2}[/mm]
Das kannst du leicht selber überprüfen, indem du
die beiden Werte ausrechnest (das sollte sogar
ohne Rechner drin liegen) und sie dann in die
Gleichung einsetzt.
Übrigens müsstest du für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] je eine
separate Gleichung schreiben oder allenfalls statt
des + vor der Wurzel das Symbol [mm] \pm [/mm] verwenden.
Dabei ist die erste Methode besser.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 So 01.12.2013 | | Autor: | leasarfati |
okay, danke!!
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