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| Aufgabe | | [mm] Z^4 [/mm] - 2Z³ + 4Z - 4 |
Eine Nullstelle des Polynoms sei, z= 1+j.
Bestimme alle weiteren Nullstellen und Zerlege das Polynom in Linearfaktoren.
Komme da leider mit meinen Lösungsansätzen auf keinen grünen Zweig, aber sollte doch eigentlich nicht anders Funktinieren wie die normale Polynomdivision!?
Finde leider nirgens eine Ähnliche aufgabe mit lösungsbeispiel, vieleicht könnt ihr mir ja helfen
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> [mm]Z^4[/mm] - 2Z³ + 4Z - 4
> Eine Nullstelle des Polynoms sei, z= 1+j.
> Bestimme alle weiteren Nullstellen und Zerlege das Polynom
> in Linearfaktoren.
>
> Komme da leider mit meinen Lösungsansätzen auf keinen
> grünen Zweig, aber sollte doch eigentlich nicht anders
> Funktinieren wie die normale Polynomdivision!?
> Finde leider nirgens eine Ähnliche aufgabe mit
> lösungsbeispiel, vieleicht könnt ihr mir ja helfen
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn es so ist, daß z=1+i eine Nullstelle von [mm] p(Z)=Z^4- [/mm] 2Z³ + 4Z - 4 ist (was ich nicht nachgeprüft habe),
dann ist auch z'=1-i eine Nullstelle dieses Polynoms,
denn komplexe Nullstellen von reellen Polynomen treten immer in konjugiert-komplexen Paaren auf.
Also kannst Du von p(Z) den Faktor [mm] q(Z):=(Z-(1+i))(Z-(1-i))=((Z-1)-i)((Z-1)+i)=(Z-1)^2 [/mm] - [mm] i^2=... [/mm] abspalten. Dieser Faktor ist ein reelles Polynom, und Du kommst mit Polynomdivision zurecht.
Gruß v. Angela
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Hi, und
danke
hm, wenn ich mal z=1+j einsetze komme ich auf +j4.
aber leider verstehe ich auch nicht so ganz was ich dann mit, [mm] (Z-1)^2-j^2 [/mm] machen soll.
(Sorry bin halt kein MAthematiker :-( )
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Hallo Winnifred!
> hm, wenn ich mal z=1+j einsetze komme ich auf +j4.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da musst Du Dich irgendwo verrechnet haben, denn hier entsteht als Funktionswert tatsächlich $0_$.
> aber leider verstehe ich auch nicht so ganz was ich dann
> mit, [mm](Z-1)^2-j^2[/mm] machen soll.
Wende hier eine binomische Formel sowie die Beziehung [mm] $j^2 [/mm] \ = \ -1$ an:
[mm] $(Z-1)^2-j^2 [/mm] \ = \ [mm] Z^2-2*Z+1-(-1) [/mm] \ = \ [mm] Z^2-2*Z+2$
[/mm]
Und nun die  Polynomdivision durch diesen Term durchführen.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Winnifred |
So, habe mich jetzt nochmal mit der Aufgabe beschäftigt. Danke für eure Hilfe erstmal... Ich denke ich habe die Lösung, hier mal der Ausführliche Weg:
[mm] Z^4 [/mm] - [mm] 2Z^3 [/mm] + 4Z - 4
mit der Nullstelle bei Zo= 1+j
ist dies eine Nullstelle gilt auch: Z'= 1-j ist eine Nullstelle
Also kann man setzen:
(Z-Zo)*(Z-Z') = (Z-(1+j)) * (Z-(1-j))
Auflösen:
[mm] Z^2-Z-Z*j-Z+1+j+Z*j-j-j^2
[/mm]
= [mm] Z^2-2Z+1-j^2
[/mm]
Wie man weis gilt: [mm] j^2= [/mm] -1
also gilt: [mm] Z^2-2Z+2
[/mm]
Polynomdivision ergibt dann:
[mm] (Z^4 [/mm] - [mm] 2Z^3 [/mm] + 4Z - 4) : [mm] (Z^2 [/mm] - 2Z + 2) = [mm] Z^2 [/mm] - 2
[mm] -(Z^4 [/mm] - [mm] 2Z^3 [/mm] + [mm] 2Z^2)
[/mm]
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[mm] -2z^2 [/mm] + 4Z -4
[mm] -(-2Z^2 [/mm] + 4Z -4)
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