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Polynomdivision: a ... + b... + c... + d...
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:59 Do 07.12.2006
Autor: baddi

Aufgabe
Aus Repetitorium der höheren Mathematik von Gerhard Merziger, Thomas Wirt
Seite 71, 3.19

[mm] \bruch{ 5x^4+18x^3+11x^2+12x+8 }{x(x-1)^2 (x+2)^3} [/mm]
= [mm] \bruch{a}{x}+ \bruch{b}{x-1}+ \bruch{c}{(x-1)^2}+ \bruch{d}{x+2}+ \bruch{e}{(x+2)^2}+ \bruch{f}{(x+2)^3} [/mm]

da heist es:
"Natürlich a=1, c=2, f=2 ..."

Natürlich fand ich es nicht dass a=1, sogar im Gegenteil.

Ich habe mit x multipliziert um den Nenner frei zu kriegen. Also x=0 gesetzt, damit die anderen Brüche (unbekannten) wegfallen.

Nur leider wird ja so der Nenner links 0. Und durch 0 Teilen darf man nicht bzw. gibts wenigstens auf keinen fall dann 1, höchstesns unendlich.

Also auf den vorigen Seiten wurde dies als Rezept vorgeschlagen.
Wie geht es wirklich?

Dank :)

        
Bezug
Polynomdivision: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:15 Do 07.12.2006
Autor: Herby

Hallo baddi,

das ist eine MBPartialbruchzerlegung  <-- click it


a,b,c... kannst du mit Koeffizientenvergleich oder über den MBGauß-Algorithmus bestimmen (ich würde die Koeffizienten vergleichen)

es gibt noch weitere Methoden mit differenzieren und (lach nicht) "Hand auflegen", manche sagen auch "Zuhaltemethode" - aber erstere ist am sichersten - find ich :-)


Liebe Grüße
Herby

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Polynomdivision: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:12 Do 07.12.2006
Autor: Herby

Hi,

> Aus Repetitorium der höheren Mathematik von Gerhard
> Merziger, Thomas Wirt
>  Seite 71, 3.19
>  
> [mm]\bruch{ 5x^4+18x^3+11x^2+12x+8 }{x(x-1)^2 (x+2)^3}[/mm]
> = [mm]\bruch{a}{x}+ \bruch{b}{x-1}+ \bruch{c}{(x-1)^2}+ \bruch{d}{x+2}+ \bruch{e}{(x+2)^2}+ \bruch{f}{(x+2)^3}[/mm]
>  
> da heist es:
>  "Natürlich a=1, c=2, f=2 ..."
>  Natürlich fand ich es nicht dass a=1, sogar im Gegenteil.
>  

in meinem Gleichungssystem erhalte ich zum Beispiel:

8*a=8

woraus sich tatsächlich schließen lässt, das a=1 sein könnte :-)

und: b=0; d=-1; e=1


lg
Herby

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Bezug
Polynomdivision: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Do 07.12.2006
Autor: baddi

Hi Herby

> > [mm]\bruch{ 5x^4+18x^3+11x^2+12x+8 }{x(x-1)^2 (x+2)^3}[/mm]
> > = [mm]\bruch{a}{x}+ \bruch{b}{x-1}+ \bruch{c}{(x-1)^2}+ \bruch{d}{x+2}+ \bruch{e}{(x+2)^2}+ \bruch{f}{(x+2)^3}[/mm]

ich finde es schon sehr schwehr das ganze auf den Hauptnennen zu bringen - ganz schön viel rechnerrei - nicht?
Muss ich doch machen um den Koeffizienten - Vergleich vornehmen zu können.
D.h. bezgl. a steht dann noch:

[mm] 5x^4+18x^3+11x^2+12x+8 = a(x-1)^2(x+2)^3 [/mm]
[mm] 5x^4+18x^3+11x^2+12x+8 = (x^2-1)(x^2+2x+4) (x+2)[/mm]
[mm] 5x^4+18x^3+11x^2+12x+8 = (x^2-1)(x^2+2x+4) (x+2)[/mm]

[mm] 5x^4+18x^3+11x^2+12x+8 = a(x^5+x^4+7x^3+4x^2-8x-8) [/mm]

und weiter rechne ich nicht mehr... das dauert mir echt zu lange... glaube auch kaum dass ich da vernöftig irgendwie noch einen Verlgeich machen kann :(



Bezug
                        
Bezug
Polynomdivision: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Do 07.12.2006
Autor: Herby

Hallo,

ja das war ganz schön viel Schreibkram, aber es geht besser wenn du so vorgehst:

Vorarbeit:

für den Hauptnenner brauchst du

[mm] (x-1)^2=x^2-2x+1 [/mm]
[mm] (x+2)^2=x^2+4x+4 [/mm]
[mm] (x+2)^3=x^3+6x^2+12x+\red{8} [/mm]

guck, da ist schon deine 8


dann

[mm] a*(x-1)^2*(x+2)^3=a*(x^2-2x+1)*(x^3+6x^2+12x+8)=... [/mm]
[mm] b*x*(x-1)*(x+2)^2=b*(x^2-x)*(x^2+4x+4)=... [/mm]
[mm] c*x*(x+2)^3=c*x*(x^3+6x^2+12x+8)= [/mm]
...

und nachher hast du sechs Gleichungen und sechs Lösungen

>  
> ich finde es schon sehr schwehr das ganze auf den
> Hauptnennen zu bringen - ganz schön viel rechnerrei -
> nicht?

einmal muss man das gemacht haben :-)

>  Muss ich doch machen um den Koeffizienten - Vergleich
> vornehmen zu können.
>  D.h. bezgl. a steht dann noch:
>  
> [mm]5x^4+18x^3+11x^2+12x+8 = a(x-1)^2(x+2)^3[/mm]
>  
> [mm]5x^4+18x^3+11x^2+12x+8 = (x^2-1)(x^2+2x+4) (x+2)[/mm]
>  
> [mm]5x^4+18x^3+11x^2+12x+8 = (x^2-1)(x^2+2x+4) (x+2)[/mm]
>  
> [mm]5x^4+18x^3+11x^2+12x+8 = a(x^5+x^4+7x^3+4x^2-8x-8)[/mm]

ist irgendwo ein Rechenfehler drin

[mm] a*(x^5+\red{4}x^4+x^3-10x^2-4x+8) [/mm]

> und weiter rechne ich nicht mehr... das dauert mir echt zu
> lange... glaube auch kaum dass ich da vernöftig irgendwie
> noch einen Verlgeich machen kann :(
>  

doch, da kommt nachher z.B. 8a=8 als Vergleich heraus


Liebe Grüße
Herby

p.s kann erst morgen wieder hier reinschauen, da ich nun weg muss [mussweg]


Bezug
                                
Bezug
Polynomdivision: hauptnenner
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Do 07.12.2006
Autor: baddi

$ [mm] \bruch{ 5x^4+18x^3+11x^2+12x+8 }{x(x-1)^2 (x+2)^3} [/mm] $

Nun der Hauptnenne steht
doch schon da?

Ich meine alle Linearfaktoren
waren in der Aufgabenstellung ja schon drin (?)

Also will sagen
aus
$ [mm] \bruch{ 5x^4+18x^3+11x^2+12x+8 }{x(x-1)^2 (x+2)^3} [/mm] $
ist der Hauptnenner direkt abzulesen:

$ [mm] x(x-1)^2 (x+2)^3 [/mm] $

Richtig?

So und nund hat mein
= $ [mm] \bruch{a}{x} [/mm] $
bereits das x also brauche ich nur noch mit
$ [mm] (x-1)^2 (x+2)^3 [/mm] $
erweitern und mein erster Partialbruch ist auf dem Hauptnenner - richtig?

Und jetzt hab ich vergessen was mir dass bringen soll :(
muss doch noch mal die Partialbruchzerlegung nachlesen.

Danke soweit.

Bezug
                                        
Bezug
Polynomdivision: alles richtig soweit
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Do 07.12.2006
Autor: Loddar

Hallo baddi!


> [mm]\bruch{ 5x^4+18x^3+11x^2+12x+8 }{x(x-1)^2 (x+2)^3}[/mm]
>
> Nun der Hauptnenne steht doch schon da?

[ok]

  

> Ich meine alle Linearfaktoren waren in der Aufgabenstellung ja schon drin (?)

[ok]

  

> Also will sagen aus [mm]\bruch{ 5x^4+18x^3+11x^2+12x+8 }{x(x-1)^2 (x+2)^3}[/mm]
> ist der Hauptnenner direkt abzulesen: [mm]x(x-1)^2 (x+2)^3[/mm]
>  
> Richtig?

[ok]

  

> So und nund hat mein   = [mm]\bruch{a}{x}[/mm]
> bereits das x also brauche ich nur noch mit [mm](x-1)^2 (x+2)^3[/mm]
>  erweitern und mein erster Partialbruch ist auf dem Hauptnenner - richtig?

[ok]

  

> Und jetzt hab ich vergessen was mir dass bringen soll :(

Die Zersplitterung in mehrer Einzelbrüche (die sogenannte MBPartialbruchzerlegung) erlaubt Dir z.B. die Integration dieser genannten Funktion oder leichte Bildung der Ableitung.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Polynomdivision: gebs auf - danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:27 Do 07.12.2006
Autor: baddi

Also danke,
ich habs verstanden wie man vorgehen soll.
Aber ich rechne nicht den ganzen Tag für die Aufgabe, hab nächste Woche Klausur und muss noch etliche andere Themenbereiche anfangen :( danke jedenfalls.
Wozu hat man eigentlich Computer? Naja.
Vor lauter Rechnerrei vergess ich noch um was es eigetnlich geht...

Ich versuch mich an einer einfacheren oder ganz anderen Aufgabe - vielen Dank.

Gruß Sebastian

Bezug
                                        
Bezug
Polynomdivision: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:01 Do 07.12.2006
Autor: Herby

Hallo baddi,


deinen Tagesablauf musst du natürlich selbst bestimmen und das tun, was wichtig ist.

An dieser Aufgabe lernst du jedoch das Schema kennen und kannst ausgiebig üben - ich habe zwei DIN A4 Seiten gebraucht. Gewöhn' dich ruhig an den Umfang; es gibt durchaus Aufgaben, die gehen locker über zwei Seiten: Oberflächenintegrale in Kugelkoordinaten sind da sehr beliebt ;-)


schönen Abend

lg
Herby

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Bezug
Polynomdivision: Status geändert
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:32 Do 07.12.2006
Autor: Herby

Hallo,

ich hab mal die Frage auf "halb-beantwortet" zurückgestellt, vielleicht findet sich noch der ein oder andere Lösungsweg ein ;-)


lg
Herby

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