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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Fr 25.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
| Aufgabe | a).
Sei V die Menge aller Polynomabbildungen [mm] f:\IR\to\IR, x\mapsto\summe_{j=0}^{n}a_jx^j [/mm] mit Koeffizienten [mm] a_j\in\IR. [/mm] Zeigen Sie, dass V ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist (mit welchen Verknüpfungen?).
b).
Beweisen oder widerlegen Sie: V ist endlich erzeugbar. |
kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich bei a anfangen muss? ich verstehe die aufgabenstellung nicht so ganz. :)
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> a).
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> Sei V die Menge aller Polynomabbildungen [mm]f:\IR\to\IR, x\mapsto\summe_{j=0}^{n}a_jx^j[/mm]
> mit Koeffizienten [mm]a_j\in\IR.[/mm] Zeigen Sie, dass V ein
> [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist (mit welchen Verknüpfungen?).
>
> kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich bei a anfangen
> muss? ich verstehe die aufgabenstellung nicht so ganz. :)
Für den Vektorraum hast du Axiome, die ihn definieren. Jetzt sollst du zeigen, dass wenn man die "Addition" und "Multiplikation mit einem Skalar" richtig auf der Menge der Polynomabbildungen definiert auch einen Vektorraum basteln kann.
Insofern solltest du dir überlegen, wie die Addition [mm] $\oplus$ [/mm] aussehen kann, wie die "Einspolynomabbildung" aussehen sollte und dann die Axiome durchgehst.
GANZ WICHTIG: Wie sehen die Elemente in V aus? Das wäre eigentlich die erste Frage, die du dir stellen solltest. Was machen Polynomabbildungen? Es gibt einen Unterschied zum Polynom!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Sa 26.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Sa 26.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
ich habe mir jetzt überlegt, dass die elemente von v die verschiedenen polynomgrade sind...das bedeutet, dass n die dimension des vektorraums +1 beschreiben kann.
beispiel für 3 dimensionalen vektorraum wäre:
n=2
[mm] (a_0)+(a_1*x^1)+(a_2*x^2)
[/mm]
1.dim + 2.dim + 3.dim
dann wäre die vektoraddition in diesem beispiel so:
[mm] \summe_{j=1}^{2}a_j*x^j+\summe_{j=1}^{2}a_j*x^j=\summe_{j=1}^{2}a_j*x^j+a_j*x^j
[/mm]
also:
[mm] (a_0+a_0)+(a_1*x^1+a_1*x^1)+(a_2*x^2+a_2*x^2)
[/mm]
es ergibt also wieder einen vektor und somit ist die erste eigenschaft des vektorraums gezeigt.
bei der multiplikation mit einem skalar:
[mm] y*\summe_{j=1}^{2}a_j*x^j=\summe_{j=1}^{2}y(a_j*x^j)
[/mm]
wegen distributivität
also:
[mm] y((a_0)+(a_1*x^1)+(a_2*x^2)) [/mm] = [mm] y(a_0)+y(a_1*x^1)+y(a_2*x^2)
[/mm]
es ergibt auch wieder einen vektor also ist die zweite eigenschaft auch gezeigt.
ist diese vorgehensweise richtig? und was ist in der aufgabenstellung mit den verknüpfungen gemeint?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Addition von polynomen ist ganz einfach
aber deine namen sind schlecht! nimm p1= [mm] \summe_{i=1}^{n}a_ix^i
[/mm]
[mm] p2=\summe_{i=1}^{m}b_ixî
[/mm]
m,n müssen nicht unbeding gleich sein, aber du kannst einfach das kmit kleineren also m<n [mm] b_i=0 [/mm] i>m
setzen.
dann addier die p und stell fest es ist wieder aus der Menge, mult. mit r und stell das wieder fest, und dann brauchst du noch ne 0
bei dir hat die Numerierung der [mm] a_j [/mm] 2 Bedeutungen, die du durcheinander wirfst. dadurch ist was du machst falsch.
jetzt versteh ich erst was du wolltest!
das ist aber so falsch. ein beliebiger Vektor aus deinem VR ist ein polynom z.Bsp 17 ten Grades!
Was du angefangen hat ist ne Basis dieses VR zu suchen, die kann für polynome wirklich b1=1, b2=x [mm] b3=x^2, [/mm] .. usw gewählt werden, aber das ist hier nicht die frage. Um ne mögliche Basis kümmert man sich erst, wenn man wirklich nen VR hat.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Sa 26.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
danke für die schnelle antwort, aber irgendwie verstehe ich das nicht so ganz. ich glaube es ist mir unklar was ich genau zeigen muss.
muss ich zeigen dass ein vektor in einem polynom dargestellt werden kann und dann die addition und multiplikation in polynomform auch funktioniert. daraus würde ja folgen dass ich einen vektorraum mit einer polynomabbildung darstellen kann.
ich habe auch nicht ganz verstanden was ich falsche gemacht habe. mir ist klar dass ich es allgemein zeigen muss und nicht in beispielen, wie ich es getan habe aber ist der grundgedanke nicht an sich richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein! Du hast etwas völlig mißverstanden. Ein VR ist ein abstraktes Gebilde, seine elemente sind Vektoren, aber das ist nur ein name für die objekte, die den VR bilden.
leider lernt man auf der Schule "Vektoren" nur als diese pfeilchen im [mm] \IR^3 [/mm] kennen, keine anderen.
Aber ob eine Ansammlung von "Objekten" einen VR bilden ist nur durch die Axiome des VR festgelegt.
Polynome sind mögliche solche objekte. sie tun nichts mit vektoren, sondern sie sind welche.
nehmen wir erst mal den endlichen VR aller polynome von Grade [mm] \le2
[/mm]
die haben alle die Form [mm] a_0+a_1x+a_2x^2
[/mm]
dabei kann man noch dazusagen, aus welchem körper die [mm] a_i [/mm] und die [mm] x_i [/mm] sein sollen. bei dir aus R
jetzt kann man 2 verschiedene solche pPol. addieren
also p1= [mm] a_0+a_1x+a_2x^2 [/mm] p2= [mm] b_0+b_1x+b_2x^2
[/mm]
p1*p2 wird addiert zu
[mm] p3=a_0+a_1x+a_2x^2+b_0+b_1x+b_2x^2
[/mm]
das kann man nach den Regeln in R umformen zu
[mm] p3=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)*x+(a_2+b_2)*x^2
[/mm]
d. h. man hat wieder ein pol vom Grad [mm] \le2
[/mm]
damm muss man noch zeigen, dass man mit r mult. kann und wieder ein pol derselben Art kriegt. und man hat ein "Null"polynom, wenn alle koeffizienten 0 sind also [mm] p_0=0
[/mm]
leicht zu zeigen, dass man es zu jedem p addieren kann ohne dass sich p ändert.
was fehlt noch? das inverse, aber das findest du selbst.
Diese pölynome haben jetzt erst mal nichts mit dem [mm] R^3 [/mm] zu tun.
sie sind keine Pfeile oder Zahlentripel sondern wirklich Funktionen! und sie tun auch nichts mit anderen objekten, die einen anderen VR bilden, wie die Zahlentripel im [mm] R^3.
[/mm]
Am Anfang des Studiums muss man sich -das ist das schwerste- daran gewöhnen, dass gewisse dinge nur durch ihre definition gegeben sind. Leider dauert es bei einigen Def. eine Weile zu merken, wie nützlich sie sind. aber grade die Eigenschaft, dass etwa fkt denselben Gesetzmäsigkeiten gehorchen wie andere Vektoren, wirst du noch sehr oft brauchen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Sa 26.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
und was muss ich in aufgabe b zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du könntest wenigstens sagen, ob du es jetzt verstanden hast ?
und was du mit a gemacht hast.
ich nehm mal an , dass n fest sein soll?
dann sollst du in b) zeigen, ob es nur endlich viele lin unabhängige Objekte=Vektoren= Polynome gibt. aus denen man dann alle anderen erzeugen kann
. Wenn endlich viele nicht ausreichen, dann gibt es kein endliches Erzeugendensystem.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Sa 26.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
ja das prinzip von a habe ich verstanden, weiß jetzt wie ich da vorgehen muss, danke.
hier steht nichts davon, dass n fest ist...das verwirrt mich nun etwas weil ich ja dann nicht für n= [mm] \infty [/mm] zeigen kann dass es endliche erzeuger gibt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zeig es einfach für ein beliebiges, aber endliches n. so ist n immer gemeint wenn nicht dabesteht, dass es gegen [mm] \infty [/mm] laufen soll.
(der Beweis für n ist kaum anders, als der für n=4 oder so).
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 So 27.11.2011 | | Autor: | sarah88 |
muss ich das nicht mit vollständiger induktion beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] ist doch dei Menge
[mm] \{1,x,^2,...,x^n\} [/mm]
lin. unabhängig in V. Kann dann V endlichdimensional sein ?
FRED
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