Polynom reduzibel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Fr 12.01.2007 | | Autor: | thommy |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Ist K ein Körper und n<1 eine natürliche Zahl, die keine Primzahl ist, dann ist X^(n-1) + X^(n-2) + ... + 1 reduzibel in K[X] |
Hallo zusammen,
kann mir bitte jemand einen tipp geben wie ich an die aufgabe rangehen?
ich weiß einfach nicht wozu ich die info brauche, dass n keine primzahl ist.
K[X] ist ja ein faktorieller Ring, also wenn das gegeben polynom nun keine Einheit ist, zerfällt es in irreduzible Elemente, somit wäre das Polynom ja reduzibel, oder sehe ich da etwas falsch?
viele grüße
thommy
(die frage habe ich nur hier im forum gestellt)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Thommy,
sei n=pm mit einer Primzahl p und [mm] m\neq [/mm] 1. Sei [mm] $\zeta\neq [/mm] 1$ eine $p$-te Einheitswurzel. Dann gilt für [mm] $f(X)=X^{n-1}+\ldots+1$
[/mm]
$$
[mm] f(\zeta)=\zeta^{-1}f(\zeta),
[/mm]
$$
d.h. [mm] f(\zeta)=0. [/mm] Also wird f vom p-ten Kreisteilungspolynom [mm] \Phi_p(X) [/mm] geteilt.
Volker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Fr 12.01.2007 | | Autor: | thommy |
hallo volker,
vielen dank für deine schnelle antwort, aber ich glaub mit der lösung kann ich leider nichts anfangen :(
ist es irgendwie mögliche die aufgabe anders zu lösen? zb ist das polynom ja primitiv und K[X] faktoriell, könnte das weiterhelfen? ich weiß die informationen einfach nicht zu verarbeiten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Thommy,
es gilt
$$
[mm] \Phi_p(X)=X^{p-1}+X^{p-2}+\ldots+1,
[/mm]
$$
z.Bsp
$$
[mm] X^3+X^2+X^1+1=(X+1)(X^2+1)=\Phi_2(X)(X^2+1).
[/mm]
$$
Du kannst ja versuchen direkt durch Polynomdividion zu zeigen, dass das ein Teiler ist.
Du wirst schon einen Teiler angeben müssen. Das ist wie bei ganzen Zahlen. Wenn man zeigen will, dass sie nicht prim, d.h. reduzibel, sind, wird man einen Teiler hinschreiben müssen.
Volker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Fr 12.01.2007 | | Autor: | thommy |
ok, vielen dank nochmal.
dann schaue ich ob ich vielleicht mit polynomdiv. etwas hinbekomme.
aber deine lösung hat mir auf jeden fall schon mal klar gemacht, worauf es hinausläuft.
thommy
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