Polynom mehrerer Veränderliche < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass
I:= [mm] \bigcap_{\lambda \in K} [/mm] ( [mm] X^{2}, [/mm] Y+ [mm] \lambda [/mm] X) ein Ideal des Polynomringes K[X,Y] ist. |
Hallo,
Ich verstehe die Schreibweise von I nicht so ganz.
Die Elemente des Polynomring K[X,Y] haben doch gar nicht die Tupel Form (X,Y) oder??
Wie kann dann I überhaupt eine Teilmenge sein?
Kann mir jemand erklären wie ich die aufgabe zu verstehen habe.
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Mo 28.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass
>
> I:= [mm]\bigcap_{\lambda \in K}[/mm] ( [mm]X^{2},[/mm] Y+ [mm]\lambda[/mm] X) ein
> Ideal des Polynomringes K[X,Y] ist.
>
> Hallo,
>
> Ich verstehe die Schreibweise von I nicht so ganz.
>
> Die Elemente des Polynomring K[X,Y] haben doch gar nicht
> die Tupel Form (X,Y) oder??
Nun, [mm] $(X^2, [/mm] Y + [mm] \lambda [/mm] X)$ ist das von [mm] $X^2$ [/mm] und $Y + [mm] \lambda [/mm] X$ erzeugte Ideal.
Du hast also einen (beliebigen) Schnitt von Idealen. Ist das wieder ein Ideal?
LG Felix
|
|
|
| |
|
Ach so natürlich!
Mit den Klammern ist das erzeugte Ideal gemeint.
Danke!
|
|
|
| |
|
Nun stellt sich mir aber die Frage, wie ein Ideal, das von zwei Polynomen erzeugt wird, aussieht?
wir haben z.B. für ein erzeugendes Element definiert:
(X):= {a*X*b | a,b [mm] \in [/mm] K[X,Y] }
Analog für (Y)
wie sieht nun aber (X,Y) aus?
Ist (X,Y)= {a*X*b + c*Y*d : , a,..,d [mm] \in [/mm] K[X,Y] }
wie ist die genaue definition?
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Mo 28.12.2009 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
> Nun stellt sich mir aber die Frage, wie ein Ideal, das von
> zwei Polynomen erzeugt wird, aussieht?
>
> wir haben z.B. für ein erzeugendes Element definiert:
>
> (X):= {a*X*b | a,b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K[X,Y] }
Es reicht sogar $\{ a X \mid a \in K[X, Y] \}$, da der Ring kommutativ ist. (Wenn der Ring nicht kommutativ waer, wuerd deins auch nicht stimmen, du braeuchtest Summen davon.)
> Analog für (Y)
>
> wie sieht nun aber (X,Y) aus?
>
> Ist (X,Y)= {a*X*b + c*Y*d : , a,..,d [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K[X,Y] }
In diesem Fall $\{ a X + b Y \mid a, b \in K[X, Y] \}$.
> wie ist die genaue definition?
Der Schnitt ueber alle Ideale, welche $X$ und $Y$ enthalten.
Das hilft dir aber nicht weiter...
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo,
Danke erstmal für die Definition von (X,Y).
Ich verstehe, dass gilt (X)={aX : a [mm] \in [/mm] K[X,Y]}={aXb : a,b [mm] \in [/mm] K[X,Y]}
wenn K[X,Y] kommutativ, wie in unserem Fall.
Aber deinen Kommentar in Klammern verstehe ich nicht so ganz.
Wir haben die obige Definition für allgemeine Ringe gemacht, nicht nur für kommutative. Was meinst du mit Summen?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo,
Mittlerweile habe ich gezeigt, dass I ein Ideal von K[X,Y] ist.
Nun soll ich noch ein Erzeugendensystem für I angeben.
Ich habe untersucht, welche Elemente in I enthalten sind.
Ich glaube, dass unendlich viele Elemente in I enthalten sind.
Also:
0 [mm] \in [/mm] I
[mm] ax^2 \in [/mm] I mit a [mm] \in [/mm] K[X,Y]
aber da K[X,Y] unendlich viele linear unabhängige Elemente besitzt, so gibt es auch unendlich viele der Form [mm] a*x^2?
[/mm]
wenn ich doch nun ein Erzeugendensystem angeben soll, würde es lauten:
[mm]
[mm] yx^2,yx^3,yx^4,.....,
[/mm]
[mm] y^2x^2,...........,
[/mm]
usw>
Ich denke, das sind alle elemente die in I enthalten sind. Bin mir aber nicht ganz sicher.
Was meint ihr dazu?
Gruß
aber dann gilt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 30.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
