Polynom in \IC, Nullstellen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Do 11.05.2006 | | Autor: | lolelula |
| Aufgabe | [mm] p(z)=a_{n}z^{n}+...+a_{1}z+a_{0} [/mm] mit reellen Koeffizienten [mm] a_{0},a_{1},...,a_{n} \in \IR. [/mm] Man zeige:
Ist z=a+ib, a,b [mm] \in \IR, [/mm] eine Nullstelle von p(z), dann auch konjugiert [mm] \overline{z}=a-ib [/mm] |
Hallo,
als ich mir die Aufgabe angeschaut habe, kam mir der Gedanke, dass natürlich auch konjugiert z eine Nullstelle von p(z) sein muss - schließlich bedeutet konjugiert z nichts anderes als eine Spiegelung an der x Achse. Leider geht es mir in der Mathematik oft so, dass ich eine "intuitve Lösung" habe; ich aber nicht weiß, wie ich das mathematisch ausdrücken soll. Wie der Analphabet also, der Sprechen kann aber nicht Schreiben ;)
Kann mir jemand helfen?
LG
Lolelula
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Im Prinzip brauchst du nur die Verträglichkeit der Konjugation mit den rationalen Operationen:
[mm]\overline{z \pm w} = \overline{z} \pm \overline{w}[/mm]
[mm]\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}[/mm]
[mm]\overline{\left( \frac{z}{w} \right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}[/mm]
woraus sich auch sofort
[mm]\overline{z^n} = \overline{z}^{\, n}[/mm]
ergibt. Und jetzt beachte noch, daß die Konjugation auf [mm]\mathbb{R}[/mm] ja die Identität ist:
[mm]\overline{x} = x \ \ \mbox{für alle} \ x \in \mathbb{R}[/mm]
Und die Koeffizienten des Polynoms sind ja als reell vorausgesetzt ...
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