Polynom faktorisieren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Sa 06.08.2011 | | Autor: | Roffel |
| Aufgabe | | Bestimmen sie von folgender Matriz alle Eigenwerte+Eigenvektoren |
Hi
im Prinzip weiß ich wie ich diese Aufgabe lösen muss.
Ich hab aber eine Frage zu einem Teillösungsschritt, den ich anders vielleicht schneller lösen kann, weil es ja in der klausur nächste woche immer die Regel 1punkt pro Minute gibt :)
So, man hat halt die Matriz A gegeben, dann hab ich erstmal die [mm] Det[A-\lambda [/mm] E] berechnet:
da kommt raus: [mm] -\lambda^{3}+5\lambda^{2}-8\lambda+4 [/mm] .
so ich habe das nun mit Polynomdivision gelöst um die Nullstellen rauszubekommen, ist wahr. halt ein bissel zeitaufwendiger...
In der Lösung machen die das anders und zwar:
1Schritt: Erraten der Nullstelle [mm] \lambda=1 [/mm] das ist noch logisch.
2Schritt: "Also ist 1 eine Nullstelle des Polynoms. Es gilt :
[mm] -\lambda^{3}+5\lambda^{2}-8\lambda+4 [/mm]
[mm] =(\lambda-1)(-\lambda^{2}+4\lambda-4) [/mm] wie kom ich so einfach auf das ? bite einfache Erklärung...
Weiter [mm] folgt:(\lambda-1)(-\lambda^{2}+4\lambda-4)
[/mm]
= [mm] -(\lambda-1)(\lambda-2)^{2} [/mm] ???
ich komme nur mit poyndiv auf diese Lösung, wäre nett wenn mir einer das erklären könnte.
Grüße
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Hi Roffel,
> So, man hat halt die Matriz A gegeben, dann hab ich erstmal
> die [mm]Det[A-\lambda[/mm] E] berechnet:
> da kommt raus: [mm]-\lambda^{3}+5\lambda^{2}-8\lambda+4[/mm] .
> so ich habe das nun mit Polynomdivision gelöst um die
> Nullstellen rauszubekommen, ist wahr. halt ein bissel
> zeitaufwendiger...
> In der Lösung machen die das anders und zwar:
> 1Schritt: Erraten der Nullstelle [mm]\lambda=1[/mm] das ist noch
> logisch.
> 2Schritt: "Also ist 1 eine Nullstelle des Polynoms. Es
> gilt :
> [mm]-\lambda^{3}+5\lambda^{2}-8\lambda+4[/mm]
> [mm]=(\lambda-1)(-\lambda^{2}+4\lambda-4)[/mm] wie kom ich so
> einfach auf das ? bite einfache Erklärung...
Darauf kommt man zum Beispiel mit Polynomdivision. Das wurde in der Musterlösung nur nicht hingeschrieben, da es relativ klar ist.
> Weiter [mm]folgt:(\lambda-1)(-\lambda^{2}+4\lambda-4)[/mm]
> = [mm]-(\lambda-1)(\lambda-2)^{2}[/mm] ???
Da wurde auf [mm] (-\lambda^{2}+4\lambda-4)=-(\lambda^{2}-4\lambda+4) [/mm] die binomische Formel angewendet.
>
LG
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Wenn du keinen Taschenrechner verwenden darfst, dann kann das Polynom aus prüfungstechnischen Gründen nur "schöne" Nullstellen besitzen. Es liegt nahe, nach ganzzahligen Nullstellen zu suchen. Dafür kommen nach einem bekannten Satz nur die Teiler des konstanten Gliedes in Betracht, also [mm]\pm 1, \pm 2, \pm 4[/mm]. Man rechnet im Kopf nach, daß 1 und 2 Nullstellen sind. Daher muß es möglich sein, die Linearfaktoren [mm]\lambda - 1[/mm] und [mm]\lambda - 2[/mm] abzuspalten. Dabei verringert sich der Grad des Polynoms um insgesamt 2. Es kann also nur noch ein Polynom [mm]a \lambda + b[/mm] vom Grad 1 übrig bleiben:
[mm]- \lambda^3 + 5 \lambda^2 - 8 \lambda + 4 = ( \lambda - 1) ( \lambda - 2) ( a \lambda + b)[/mm]
Das Glied mit der höchsten Potenz kann nur entstehen durch Multiplizieren der höchsten Potenzen in den Klammern. Wir betrachten die Koeffizienten:
[mm]1 \cdot 1 \cdot a = -1[/mm], also [mm]a = -1[/mm]
Das konstante Glied kann nur entstehen durch Multiplikation der konstanten Glieder:
[mm](-1) \cdot (-2) \cdot b = 4[/mm], also [mm]b = 2[/mm]
Fertig.
[mm]- \lambda^3 + 5 \lambda^2 - 8 \lambda + 4 = ( \lambda - 1) ( \lambda - 2) ( - \lambda + 2) = - ( \lambda - 1 ) ( \lambda - 2 )^2[/mm]
Das kann man, zwei, drei Zahlen auf das Schmierblatt gekritzelt, mehr oder weniger alles im Kopf rechnen und damit gleich das Ergebnis angeben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Di 09.08.2011 | | Autor: | Roffel |
Danke Leopold!!!
das war sehr aufschlussreich für mich =) darauf wollte ich hinaus...
würdest du mir raten deine Methode zu nutzen um auf die faktorisierung zu kommen anstatt das mit Polynomdivision alles zu machen? müsste damit ja eigentlich Zeit gut machen oder?
Grüße
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Hallo Roffel,
> Danke Leopold!!!
> das war sehr aufschlussreich für mich =) darauf wollte
> ich hinaus...
> würdest du mir raten deine Methode zu nutzen um auf die
> faktorisierung zu kommen anstatt das mit Polynomdivision
> alles zu machen? müsste damit ja eigentlich Zeit gut
> machen oder?
Nun, das kann man allg. nicht sagen!
Du kennst nun 2 Möglichkeiten, probiere, was dir besser liegt.
Die Polynomdivision ist hier auch nicht sonderlich aufwendig ...
Nimm die Methode, mit der du besser klar kommst und die für dich weniger fehleranfällig ist ...
>
> Grüße
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Fr 12.08.2011 | | Autor: | Roffel |
Servus ,
hab dazu nochmal kurz eine Frage
> [mm]- \lambda^3 + 5 \lambda^2 - 8 \lambda + 4 = ( \lambda - 1) ( \lambda - 2) ( - \lambda + 2) = - ( \lambda - 1 ) ( \lambda - 2 )^2[/mm]
das ist ja das Ergebnis, habe ich auch so in der Form verstanden, habe jetzt allerdings nochmal versucht mit der Polynomdivision...
da errate ich ja anfangs auch die 1.Nullstelle mit [mm] \lambda=1 [/mm] dann
$ - [mm] \lambda^3 [/mm] + 5 [mm] \lambda^2 [/mm] - 8 [mm] \lambda [/mm] + 4 [mm] :(\lambda [/mm] -1) [mm] =-\lambda^{2}+4\lambda-4 [/mm] soweit so gut oder?
dann benutze ich die Mitternachtsformel für weite Nullstellen:
unter der Wurzel bekom ich 0 raus und dann steht da
Nullstelle2,3 = [mm] \bruch{-4 \pm0}{-2} [/mm] ergibt = 2
dadurch das es unter der Wurzel 0 ergibt weiß ich ja dass es eine doppelte Nullstelle ist, richtig?
und dann hätte ich es so aufgestellt:
[mm] (\lambda-1)^{1}*(\lambda-2)^{2} [/mm] aber dann fehlt mir ja dieses "Minus" vor de Klammern...hä
wie bekomm ich das denn wieder dahin wenn ich es so mache??
Grüße
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Hallo Roffel,
> Servus ,
> hab dazu nochmal kurz eine Frage
>
>
> > [mm]- \lambda^3 + 5 \lambda^2 - 8 \lambda + 4 = ( \lambda - 1) ( \lambda - 2) ( - \lambda + 2) = - ( \lambda - 1 ) ( \lambda - 2 )^2[/mm]
>
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> das ist ja das Ergebnis, habe ich auch so in der Form
> verstanden, habe jetzt allerdings nochmal versucht mit der
> Polynomdivision...
> da errate ich ja anfangs auch die 1.Nullstelle mit
> [mm]\lambda=1[/mm] dann
>
Bei diesem Polynom kann man auch sämtlicihe Teiler von 4 durchprobieren,
bis man eine Nullstelle gefunden hat.
Teiler sind hier: [mm]\pm 1, \ \pm 2, \ \pm 4[/mm]
> $ - [mm]\lambda^3[/mm] + 5 [mm]\lambda^2[/mm] - 8 [mm]\lambda[/mm] + 4 [mm]:(\lambda[/mm] -1)
> [mm]=-\lambda^{2}+4\lambda-4[/mm] soweit so gut oder?
>
Ja.
> dann benutze ich die Mitternachtsformel für weite
> Nullstellen:
> unter der Wurzel bekom ich 0 raus und dann steht da
> Nullstelle2,3 = [mm]\bruch{-4 \pm0}{-2}[/mm] ergibt = 2
>
> dadurch das es unter der Wurzel 0 ergibt weiß ich ja dass
> es eine doppelte Nullstelle ist, richtig?
>
Richtig.
> und dann hätte ich es so aufgestellt:
> [mm](\lambda-1)^{1}*(\lambda-2)^{2}[/mm] aber dann fehlt mir ja
> dieses "Minus" vor de Klammern...hä
> wie bekomm ich das denn wieder dahin wenn ich es so
> mache??
Nun, bei der Polynomdivision hast Du erhalten:
[mm]-\lambda^{2}+4\lambda-4=-\left(\lambda^{2}-4\lambda+4\right)=-\left(\lambda-2\roght)^{2}[/mm]
>
> Grüße
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Fr 12.08.2011 | | Autor: | Roffel |
Servus Mathepower
> > $ - [mm]\lambda^3[/mm] + 5 [mm]\lambda^2[/mm] - 8 [mm]\lambda[/mm] + 4 [mm]:(\lambda[/mm] -1)
> > [mm]=-\lambda^{2}+4\lambda-4[/mm]
>
>
> > dann benutze ich die Mitternachtsformel für weite
> > Nullstellen:
> > unter der Wurzel bekom ich 0 raus und dann steht da
> > Nullstelle2,3 = [mm]\bruch{-4 \pm0}{-2}[/mm] ergibt = 2
> > und dann hätte ich es so aufgestellt:
> > [mm](\lambda-1)^{1}*(\lambda-2)^{2}[/mm]
>
> Nun, bei der Polynomdivision hast Du erhalten:
>
> [mm]-\lambda^{2}+4\lambda-4=-\left(\lambda^{2}-4\lambda+4\right)=-\left(\lambda-2\roght)^{2}[/mm]
ja richtig, ich habe das erhalten [mm][mm] -\lambda^{2}+4\lambda-4 [/mm] , aber ich habe daran dann nichts verändert, also ich habe nicht die -1 hier ausgeklammert wie du es geta hast, woher weiß ich denn das ich das machen muss? weil so war mir dieses Minus nicht logisch, bzw. ist es mir immer noch nicht so richtig,
für mich ist es klar wenn ich das so rausbekomme
[mm] -\left(\lambda^{2}-4\lambda+4\right) [/mm] das ich dann danach an das Minus denke muss da ja ich ja nur von der Klammer die Mitternachtsformel anwende aber sonst.. nein leider noch nicht....
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Sa 13.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Halo Roffel,
das Herausziehen des Minuszeichens hat nichts mit der Polynomdivision zu tun, sondern mit der mathematischen Erkenntnis, dass, wenn Du das tust, der Klammerausdruck mit Hilfe der zweiten Binomischen Formel geschrieben werden kann. Das muss man aber erkennen, es ist kein mathematischer Analyseschritt.
Viele Grüße,
Infinit
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