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Liebe User,
ich habe ein weiteres Problem : Ich muss ein Polynom auf Normalform bringen. Aber wie ?
Kann mit jemand helfen ? Die Scheinklausur ist am Mittwoch !
BITTE!
LG,
Denis
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo KGB-Spion,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Liebe User,
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> ich habe ein weiteres Problem : Ich muss ein Polynom auf
> Normalform bringen. Aber wie ?
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> Kann mit jemand helfen ? Die Scheinklausur ist am Mittwoch
> !
Das Polynom [mm]p\left(x,y,z\right)[/mm] kann auch so geschrieben werden:
[mm]p\left(x,y\z\right)=\pmat{x & y & z}*A*\pmat{x \\ y \\ z}+2*b^{t}*\pmat{x \\ y \\ z}+d[/mm]
,w wobei A eine 3x3-Matrix, b eine 1x3-Matrix (Vektor) und d ein Skalar ist.
Wird v definiert als
[mm]v:=\pmat{x \\ y \\ z}[/mm],
dann läßt sich p auch so schreiben:
[mm]p\left(x,y\z\right)=v^{t}*A*v+2*b^{t}*v+d[/mm]
Dies ist die allgemeine Form einer Gleichung 2. Grades.
Hier benötigtst Du eine Transformation der Form
[mm]v=S*w+u[/mm]
,wobei S die Matrix ist, die aus Eigenvektoren zu den zugehörigen Eigenwerten besteht
und u ein Translationsvektor ist.
Nun kannst Du Dir den Translationsvektoren anhand der gegebenen Translation ausrechnen,
und zwar so, daß [mm]p\left(S*w+u\right)[/mm] keinen linearen Anteil mehr hat.
Oder Du führst zunächst die Transformation [mm]v=S*v'[/mm] durch, und berechnest dann mit der neuen Gleichung den Translationsvektor [mm]\tilde{u}[/mm], so daß ebenfalls der lineare Anteil verschwindet
Nach der Transformation [mm]v=Sv'[/mm] gilt:
[mm]p\left(v'\right)=\left(v'\right)^{t}A'v'+2\left(b'\right)^{t}v'+d[/mm]
Führe jetzt die Translation
[mm]v'=v''+\tilde{u}[/mm]
so durch, daß der lineare Anteil von [mm]p\left(v''\right)[/mm] verschwindet.
Somit ergibt sich die Gesamttransformation zu
[mm]v=S*v'=S*\left(v''+\tilde{u}\right)=S*v''+S*\tilde{u}[/mm]
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> BITTE!
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> LG,
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> Denis
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:47 Fr 09.01.2009 | | Autor: | KGB-Spion |
Hallo,
also erstmals - sorry, dass ich mich nicht früher melden konnte (war kurz nicht daheim).
Also ich verstehe den Ansatz - ist wie der aus Meyberg Vachenauer (S.343 oder so - gell?
Ich versuch`s mal . . . DANKE SCHONMAL IM VORAUS !
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Also ich kapier immernoch nicht, wie man A und [mm] a^T [/mm] berechnet. Gibt es da eine Herleitung oder FOrmel dafür ?
Bitte teilt sie mir mit ... das Prinzip ist nun Klipp und klar: Nichts neues - Eigenwerte und Eigenräume sind wirklich nichts besonderes. . .
Aber wie bilde ich z.B. beim obigen Polynom denn die Matrix A ? Und wie gehe ich bei [mm] a^T [/mm] vor ? Genügt es bei [mm] a^T [/mm] nicht einfach, die [mm] a_{ij} [/mm] nebeneinander in eine Zeile zu schreiben ?
Bitte um Hilfe !
BG,
Denis
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Hallo KGB-Spion,
> Also ich kapier immernoch nicht, wie man A und [mm]a^T[/mm]
> berechnet. Gibt es da eine Herleitung oder FOrmel dafür ?
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> Bitte teilt sie mir mit ... das Prinzip ist nun Klipp und
> klar: Nichts neues - Eigenwerte und Eigenräume sind
> wirklich nichts besonderes. . .
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> Aber wie bilde ich z.B. beim obigen Polynom denn die Matrix
> A ? Und wie gehe ich bei [mm]a^T[/mm] vor ? Genügt es bei [mm]a^T[/mm] nicht
> einfach, die [mm]a_{ij}[/mm] nebeneinander in eine Zeile zu
> schreiben ?
Das quadratische Polynom
[mm]p\left(x,y,z\right)=a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a44[/mm]
läßt sich auch so schreiben:
[mm]=\pmat{x & y & z}\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}}\pmat{x \\ y \\ z}+2*\pmat{a_{14} & a_{24} & a_{34}}\pmat{x \\ y \\ z}+a_{44}[/mm]
[mm]=\pmat{x & y & z}A\pmat{x \\ y \\ z}+2*\left(\overrightarrow{a}^{T}\pmat{x \\ y \\ z}\right)+a_{44}[/mm]
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> Bitte um Hilfe !
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> BG,
>
> Denis
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:09 So 11.01.2009 | | Autor: | KGB-Spion |
Also ich muss mich recht herzlich bei Dir bedanken !
Vielen Dank für Deine Mühe !
Hab`s jetzt kapiert !
DANKESCHÖN !
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