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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 So 27.01.2008 | | Autor: | Zorba |
| Aufgabe | Für n,m [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] I={(x_{i},y_{j})\in\IR^{2}|i=0,...,n,j=0,...,m} [/mm] mit [mm] x_{0}
[mm] p(x,y)=\summe_{i=0}^{n}\summe_{j=0}^{m} a_{ij}x^{i}y^{j}
[/mm]
gibt, so dass [mm] p_{|I}=f [/mm] ist, und geben sie die Lösung an |
Wie würdet ihr hier die Existenz und Eindeutigkeit beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:55 Mo 28.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Für n,m [mm]\in \IN[/mm] sei
> [mm]I={(x_{i},y_{j})\in\IR^{2}|i=0,...,n,j=0,...,m}[/mm] mit
> [mm]x_{0}
> sie, dass es zu jemdem f: [mm]I\to\IR[/mm] genau ein Polynom
> [mm]p(x,y)=\summe_{i=0}^{n}\summe_{j=0}^{m} a_{ij}x^{i}y^{j}[/mm]
>
> gibt, so dass [mm]p_{|I}=f[/mm] ist, und geben sie die Lösung an
> Wie würdet ihr hier die Existenz und Eindeutigkeit
> beweisen?
Also, wenn du [mm] $f|_I [/mm] = f$ hinschreibst, erhaelst du ein lineares Gleichungssystem mit $(n + 1) (m + 1)$ Gleichungen und Unbestimmten (die Unbestimmten sind die [mm] $a_{ij}$). [/mm] Aus der linearen Algebra weisst du, fass folgende Aussagen aequivalent sind:
(i) Das LGS ist fuer alle rechten Seiten [mm] $f(x_i, y_j)$, [/mm] $0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$, $0 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] m$ loesbar;
(ii) Die Matrix vom LGS ist quadratisch und hat vollen Rang;
(iii) Das LGS ist fuer alle rechten Seiten eindeutig loesbar!
Du willst nun (iii) haben, also musst du entweder (ii) oder (i) zeigen.
Fuer (ii) kannst du zeigen, dass die Matrix gleich dem Kroneckerprodukt von zwei Vandermonde-Matrizen ist, und die Determinante vom Kroneckerprodukt ist im wesentlichen (wahrscheinlich sogar genau gleich, aber das weiss ich grad nicht mehr aus dem Kopf) das Produkt der Determinanten der Faktoren, womit die grosse Matrix auch invertierbar ist.
Fuer (i) kannst du explizit mit Hilfe von Lagrange-Interpolation das ganze konstruieren. Dazu haelst du zuerstmal ein $i$ fest und betrachtest das Polynom [mm] $p(x_i, [/mm] y)$ in der Unbestimmten $y$. Nach Lagrange gibt es jetzt eindeutige [mm] $b_{ij}$, [/mm] $0 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] m$, mit [mm] $p_i(y_j) [/mm] := [mm] \sum_{j=0}^m b_{ij} y^j [/mm] = [mm] f(x_i, y_j)$, [/mm] $0 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] m$.
So, und als zweiten Schritt suchst du Polynome [mm] $q_j(x)$ [/mm] mit [mm] $q_j(x_i) [/mm] = [mm] b_{ij}$. [/mm] Wenn [mm] $q_j(x) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^n a_{ij} x^i$ [/mm] ist, dann ueberleg dir mal, was $f(x, y) = [mm] \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m a_{ij} x^i y^j$ [/mm] nun tut, wenn man [mm] $(x_i, y_j)$ [/mm] einsetzt.
So, ich hoffe mal ich hab mich jetzt bei der Indexschlacht nicht vertan ;) Wenn doch, dann muesste es halt in etwa so gehen...
LG Felix
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