Polynom als Linearkombination < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Fr 24.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | Sei V der Vektorraum der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 2 über [mm] \IR.
[/mm]
Sei p1 = [mm] 2T^2 [/mm] + T + 1, p2 = [mm] 4T^2 [/mm] + T, p3 = -2 [mm] T^2 [/mm] + 2T + 1.
Schreiben Sie das Polynom [mm] 5T^2 [/mm] − 11T + 7 als Linearkombination der Polynome
[mm] p_{1}, p_{2}, p_{3}.
[/mm]
Hinweis: Die inverse Matrix zu [mm] \pmat{ 2 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 } [/mm] ist [mm] \pmat{ \bruch{1}{8} & \bruch{-1}{2} & \bruch{5}{4} \\ \bruch{1}{8} & \bruch{1}{2} & \bruch{-3}{4} \\ \bruch{-1}{8} & \bruch{1}{2} & \bruch{-1}{4} }
[/mm]
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Mein Ansatz war [mm] ap_{1} [/mm] + [mm] bp_{2} [/mm] + [mm] cp_{3} [/mm] = [mm] 5T^2-11T+7, [/mm] also
[mm] a(2T^2+T+1)+b(4T^2+T)+c(-2 T^2+2T+1)=5T^2-11T+7, [/mm] von diesem Gleichungssystem eine Matrix aufzustellen. Und dann die inverse Matrix dazu zu nutzen, die Variablen a, b und c zu lösen, aber das gelingt mir nicht, wenn ich die Probe mache. Kann mir jemand sagen, wie ich beginnen soll?
Besten Dank, Gruß, Stefan.
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> Sei V der Vektorraum der Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 2 über [mm]\IR.[/mm]
> Sei p1 = [mm]2T^2[/mm] + T + 1, p2 = [mm]4T^2[/mm] + T, p3 = -2 [mm]T^2[/mm] + 2T +
> 1.
> Schreiben Sie das Polynom [mm]5T^2[/mm] − 11T + 7 als
> Linearkombination der Polynome
> [mm]p_{1}, p_{2}, p_{3}.[/mm]
> Hinweis: Die inverse Matrix zu
> [mm]\pmat{ 2 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm] ist [mm]\pmat{ \bruch{1}{8} & \bruch{-1}{2} & \bruch{5}{4} \\ \bruch{1}{8} & \bruch{1}{2} & \bruch{-3}{4} \\ \bruch{-1}{8} & \bruch{1}{2} & \bruch{-1}{4} }[/mm]
>
> Mein Ansatz war [mm]ap_{1}[/mm] + [mm]bp_{2}[/mm] + [mm]cp_{3}[/mm] = [mm]5T^2-11T+7,[/mm]
> also
> [mm]a(2T^2+T+1)+b(4T^2+T)+c(-2 T^2+2T+1)=5T^2-11T+7,[/mm] von
> diesem Gleichungssystem eine Matrix aufzustellen.
Hallo,
die Idee ist doch schonmal gut.
Sortiere jetzt erstmal nach Potenzen von T, also so
[mm] (...)T^2+(...)T+(...)*1=5T^2-11T+7,
[/mm]
das liefert Dir ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen a,b,c , von welchen Du dann wie geplant die Koeffizientenmatrix aufstellen kannst.
Gruß v. Angela
Und dann
> die inverse Matrix dazu zu nutzen, die Variablen a, b und c
> zu lösen, aber das gelingt mir nicht, wenn ich die Probe
> mache. Kann mir jemand sagen, wie ich beginnen soll?
>
> Besten Dank, Gruß, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Fr 24.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> [mm](...)T^2+(...)T+(...)*1=5T^2-11T+7,[/mm]
ja, das habe ich gemacht:
[mm] (2a+4b-2c)T^2 [/mm] + (a+b+2c)T + (a+c) = [mm] 5T^2-11T+7
[/mm]
ok, als Matrix geschrieben:
[mm] \pmat{2 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1} \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ -11 \\7}
[/mm]
wie muss ich jetzt die Inverse anwenden, das ist mir nicht geglückt:
[mm] \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] = $ [mm] \pmat{ \bruch{1}{8} & \bruch{-1}{2} & \bruch{5}{4} \\ \bruch{1}{8} & \bruch{1}{2} & \bruch{-3}{4} \\ \bruch{-1}{8} & \bruch{1}{2} & \bruch{-1}{4} } [/mm] $ [mm] \vektor{5 \\ -11 \\7}?
[/mm]
Denn wenn ich das jetzt berechne und die Probe rechne komme ich nicht auf das richtige Ergebnis, wo liege ich falsch?
Vielen Dank.
Gruß, Stefan.
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Hey,
vom Prinzip her hast du alles richtig gemacht!
Was bekommst du denn als Ergebnis raus?
Gruß Patrick
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:18 Sa 25.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> vom Prinzip her hast du alles richtig gemacht!
> Was bekommst du denn als Ergebnis raus?
ok, ist ja schon mal was, ich komme auf folgendes Ergebnis:
[mm] \vektor{\bruch{119}{8} \\ \bruch{-11}{8} \\ \bruch{-63}{8}}
[/mm]
Wenn ich das nun in [mm] (2a+4b-2c)T^2 [/mm] + (a+b+2c)T + (a+c) = [mm] 5T^2-11T+7 [/mm] einsetze, ergibt das
[mm] (\bruch{238}{8} [/mm] - [mm] \bruch{44}{8} [/mm] + [mm] \bruch{126}{8})T^2 [/mm] ... das ist schon [mm] 40T^2, [/mm] ergibt also schon das falsche Ergebnis, oder habe ich was übersehen?
Vielen Dank,
Gruß, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Sa 25.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
> Wenn ich das nun in [mm](2a+4b-2c)T^2[/mm] + (a+b+2c)T + (a+c) =
> [mm]5T^2-11T+7[/mm] einsetze, ergibt das
> [mm](\bruch{238}{8}[/mm] - [mm]\bruch{44}{8}[/mm] + [mm]\bruch{126}{8})T^2[/mm] ...
> das ist schon [mm]40T^2,[/mm] ergibt also schon das falsche
> Ergebnis, oder habe ich was übersehen?
offensichtlich habe ich mich verrechnet, shit Bruchrechnung ;) jetzt stimmts, vielen Dank an euch alle.
Gruß, Stefan.
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