Polynom Koeff.Vergleich < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Mi 04.04.2012 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Sei [mm] p(x)=\sum_{j=0}^{n}[p_j x^j] [/mm] ein (reeles) Polynom. Angenommen, es gibt ein Polynom q(x) [mm] =\sum_{j=1}^{n}[q_j x^j] [/mm] mit [mm] (1+x^2)*q(x)=p(x).
[/mm]
Finde Ausdrücke für die [mm] q_j [/mm] in den [mm] p_j [/mm] mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs in der Gleichung [mm] (1+x^2)*q(x)=p(x). [/mm]
Hinweis (Schreibe dazu die lInke Seite der Gleichung als Polynom der gleichen Form wie p(x), indem eine passende Indexverschiebung im zweiten Summanden von [mm] q(x)+x^2*q(x) [/mm] durchgeführt wird. |
Hallo liebe Gemeinde!
Ich habe:
[mm] \sum_{j=0}^{n}[p_j x^j] [/mm] = [mm] (1+x^2) \sum_{j=1}^{n}[q_j x^j] [/mm]
= [mm] \sum_{j=1}^{n}[q_j x^j] [/mm] + [mm] x^2* \sum_{j=1}^{n}[q_j x^j]
[/mm]
= [mm] \sum_{j=1}^{n}[q_j x^j] [/mm] + [mm] \sum_{j=1}^{n}[q_j x^j+2]
[/mm]
jetzt habe ich ein paar Indexverschiebungen probiert...
= [mm] \sum_{j=0}^{n-1}[q_{j+1} x^{j+1}] [/mm] + [mm] \sum_{j=0}^{n-1}[q_{j+1} x^{j+3}]
[/mm]
= [mm] \sum_{j=3}^{n+2}[q_{j-2} x^{j-2}] [/mm] + [mm] \sum_{j=3}^{n+2}[q_{j-2} x^j]
[/mm]
und habe mir die Summenglieder zusammengefasst:
[mm] q_1*x [/mm] + [mm] q_2*x^2 [/mm] + [mm] (q_1+ q_3)x^3 [/mm] + [mm] (q_2+q_4)x^4 [/mm] + ... + [mm] (q_{n-1} [/mm] + [mm] q_{n+1})*x^{n+1} [/mm] + [mm] q_n*x^{n+2}
[/mm]
= [mm] \sum_{j=0}^{n}[q_{j} (x^{j+2}+x^j] [/mm] - [mm] q_0*(x^2+1)
[/mm]
nun... leider sehe ich nicht wie mich das bei der Fragestellung weiterbringt..
bin für jeden Tipp dankbar
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Mi 04.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
soll wirklich die Summe über die [mm] q_i [/mm] erst bei 1 anfangen? dann gilt sicher [mm] p_0=0
[/mm]
2. sollte direkt klar sein dass [mm] q_n [/mm] und [mm] q_{n-1}=0
[/mm]
da in deinem Tip nur von Indexverschiebung im 2 ten Summanden steht, denk ich auch die q Summe sollte bei p=0 anfangen.
aber wenn du dann si vorgehst hast du doch direkt eine beziehung zwischen den [mm] p_i [/mm] und [mm] q_i?
[/mm]
bei deinem q(x) wär das [mm] p_0=0 p_1=q_1: p_2=q_2; [/mm]
[mm] p_k=q_k+q_{k-2} [/mm] fürk>2
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Mi 04.04.2012 | | Autor: | elmanuel |
danke leduart!
> soll wirklich die Summe über die [mm]q_i[/mm] erst bei 1 anfangen?
> dann gilt sicher [mm]p_0=0[/mm]
ja die Angabe ist genau so mit dem Start bei 1... kann natürlich sein das es ein Druckfehler ist ...
--------------------------------
ich habe nochmals neu formuliert:
[mm] \sum_{j=0}^{n}[p_j x^j] [/mm] = [mm] (1+x^2) \sum_{j=1}^{n}[q_j x^j] [/mm]
= [mm] \sum_{j=1}^{n}[q_j x^j] [/mm] + [mm] x^2* \sum_{j=1}^{n}[q_j x^j]
[/mm]
= [mm] \sum_{j=1}^{n}[q_j x^j] [/mm] + [mm] \sum_{j=1}^{n}[q_j x^{j+2}]
[/mm]
= [mm] \sum_{j=1}^{n}[q_j x^j] [/mm] + [mm] x^2* \sum_{j=3}^{n+2}[q_{j-2} x^j]
[/mm]
[mm] \Rightarrow \sum_{j=0}^{n}[p_j x^j] [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{n} \begin{cases} q_j*x^j, & \mbox{für } j <=2 \\ (q_j+q_{j-2})*x^j, & \mbox{für } j>2 \end{cases}
[/mm]
Anm: [mm] q_{n-1} [/mm] und [mm] q_n [/mm] müssen 0 sein da keine [mm] x^{n+1}, x^{n+2} [/mm] in p(x) möglich
[mm] \Rightarrow [/mm] | [mm] p_0=0 [/mm] | [mm] p_1=q_1 [/mm] | [mm] p_j=(q_j+q_{j-2}) [/mm] für j>2 !
korrekt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Mi 04.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, die Anmerkung muss in das Ergebnis.
Gruss leduart
|
|
|
|
