Polynom, Abschätzg. NS/Koeff. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Di 15.10.2013 | | Autor: | Tobgen |
| Aufgabe | Hat das Polynom [mm] p(x)=\summe_{i=1}^{n}(a_i*x^i) [/mm] mit [mm] a_n=1 [/mm] eine Nullstelle x* ,d.h. p(x*)=0, so gilt [mm] \vert [/mm] x* [mm] \vert \le [/mm] max [mm] (\vert a_0\vert, [/mm] 1+ [mm] \vert a_i\vert) [/mm] , i=1,...,n-1
Weisen Sie das nach. |
Ich habs mal ausprobiert mit nem Polynom dritten Grades, warum es gilt weiß ich aber noch nicht und entsprechend hab ich auch keine Idee wie ich das zeigen kann. Ich hab ferner die Horner-Darstellung für Polynome entdeckt, kann die mir da weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, ich rechne mal vor.
Ich bezeichne x statt x^*, damit ich nicht immer stern machen muss ;)
ObdA x>1.
[mm] x^n+a_0=\summe_1^{n-1}{-a_ix^i}, [/mm] mit CSU folgt dann
[mm] |x^n+a_0|=|\summe_1^{n-1}{-a_ix^i}|\leq \summe_1^{n-1}{|-a_i|x^i} \leq max_1^{n-1}(|a_i|)\summe_1^{n-1}{x^i} [/mm] = [mm] max_1^{n-1}(|a_i|)\bruch{x^n-x}{x-1} \gdw
[/mm]
[mm] (x-1)|x^n+a_o| \leq (x^n-x)max_1^{n-1}(|a_i|) \gdw
[/mm]
x-1 [mm] \leq \bruch{x^n-x}{x^n-a_o}max_1^{n-1}(|a_i|)
[/mm]
Betrachten wir nun den Bruch [mm] \bruch{x^n-x}{x^n-a_o}
[/mm]
Falls [mm] x
Also gilt:
x-1 [mm] \leq max_1^{n-1}(|a_i|)
[/mm]
lg
adlerbob
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:28 Sa 19.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich rechne mal vor.
> Ich bezeichne x statt x^*, damit ich nicht immer stern
> machen muss ;)
> ObdA x>1.
Wieso das denn ?
> [mm]x^n+a_0=\summe_1^{n-1}{-a_ix^i},[/mm] mit CSU folgt dann
> [mm]|x^n+a_0|=|\summe_1^{n-1}{-a_ix^i}|\leq \summe_1^{n-1}{|-a_i|x^i} \leq max_1^{n-1}(|a_i|)\summe_1^{n-1}{x^i}[/mm]
> = [mm]max_1^{n-1}(|a_i|)\bruch{x^n-x}{x-1} \gdw[/mm]
> [mm](x-1)|x^n+a_o| \leq (x^n-x)max_1^{n-1}(|a_i|) \gdw[/mm]
>
> x-1 [mm]\leq \bruch{x^n-x}{x^n-a_o}max_1^{n-1}(|a_i|)[/mm]
Wo kommt das Minuszeichen in [mm] x^n-a_0 [/mm] her ???? Oben stand [mm] x^n+a_0 [/mm] .
Wie auch immer: was machst Du im Falle [mm] x^n=a_0 [/mm] bzw. [mm] x^n=-a_0 [/mm] ?
>
> Betrachten wir nun den Bruch [mm]\bruch{x^n-x}{x^n-a_o}[/mm]
> Falls [mm]x
> ist [mm]\bruch{x^n-x}{x^n-a_o}\leq[/mm] 1
> Also gilt:
> x-1 [mm]\leq max_1^{n-1}(|a_i|)[/mm]
Bingo ! Im Falle [mm] a_1=...=a_{n-1}=0 [/mm] bekommst Du x [mm] \le [/mm] 1
Was nun, das passt nicht zu "O.b.d.A. x>1"
FRED
>
> lg
> adlerbob
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 Sa 19.10.2013 | | Autor: | adlerbob |
Hallo!
> > ObdA x>1. Wieso das denn ?
Ist ganz einfach. Falls [mm] |x|\leq [/mm] 1 ist die Aussage ja erfühlt, und falls [mm] x\leq [/mm] 0, nehme einfach y=-x, da aber |y|=|x| ist es für die Aussage egal.
> > Wo kommt das Minuszeichen in $ [mm] x^n-a_0 [/mm] $ her ???? Oben stand $ [mm] x^n+a_0 [/mm] $
Stimmt, habe mich da verrechnet, aber es stört nicht der Aussage das der Bruch kleinergleich als 1 ist
> > Wie auch immer: was machst Du im Falle $ [mm] x^n=a_0 [/mm] $ bzw. $ [mm] x^n=-a_0 [/mm] $ ?
Ok, noch einen Ausnahmefall ;)
In dem Fall ist aber da |x| > 1 [mm] \Reightarrow |x|=\wurzel[n]{|a_0|} [/mm] < [mm] |a_0|
[/mm]
lg alex
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