Polynom 3 Grades interpolieren < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:44 Do 23.01.2014 | | Autor: | Peri2 |
| Aufgabe | Die folgende Tabelle zeigt die Zuschauerzahlen der ersten vier Spieltage:
Spieltag 1 / Zuschauer / 24317
Spieltag 2 / Zuschauer / 22101
Spieltag 3 / Zuschauer / 22988
Spieltag 4 / Zuschauer / 22513
Ermitteln Sie ein Polynom dritten Grades, das diese Werte interpoliert.
Prognostizieren Sie damit, wie viele Zuschauer am fünften Spieltag
kommen werden. |
Ich habe versucht es mit der Lagrange Basisfunktion zu lösen,
laut dem Beispiel bei Wikipedia- Interpolation der Tangensfunktion.
Der unterschied wäre ja, dass ich nur bis l3 und x3 rechnen muss.
Für x habe ich die Spieltage verwendet.
Für die Funktion beim Berechnen des Interpolationspolynom würde ich dann
die Zuschauerzahlen nehmen:
x0= 1
x1= 2
x2= 3
x3= 4
f(x0)= 24317
f(x1)= 22101
f(x2)= 22988
f(x3)= 22513
Ist meine Annahme bis hier hin korrekt?
Weil ich schon beim berechnen der Basisfunktion auf "komische"
Ergebnisse komme.
Ich wäre für jede Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die folgende Tabelle zeigt die Zuschauerzahlen der ersten
> vier Spieltage:
>
> Spieltag 1 / Zuschauer / 24317
> Spieltag 2 / Zuschauer / 22101
> Spieltag 3 / Zuschauer / 22988
> Spieltag 4 / Zuschauer / 22513
>
> Ermitteln Sie ein Polynom dritten Grades, das diese Werte
> interpoliert.
> Prognostizieren Sie damit, wie viele Zuschauer am fünften
> Spieltag
> kommen werden.
> Ich habe versucht es mit der Lagrange Basisfunktion zu
> lösen,
> laut dem Beispiel bei Wikipedia- Interpolation der
> Tangensfunktion.
>
> Der unterschied wäre ja, dass ich nur bis l3 und x3
> rechnen muss.
> Für x habe ich die Spieltage verwendet.
> Für die Funktion beim Berechnen des Interpolationspolynom
> würde ich dann
> die Zuschauerzahlen nehmen:
>
> x0= 1
> x1= 2
> x2= 3
> x3= 4
> f(x0)= 24317
> f(x1)= 22101
> f(x2)= 22988
> f(x3)= 22513
>
> Ist meine Annahme bis hier hin korrekt?
> Weil ich schon beim berechnen der Basisfunktion auf
> "komische"
> Ergebnisse komme.
Bis hierher ist alles völlig korrekt. Man darf auch bei diesen Ausganggsdaten nicht erwartem irgendwelche schönen Ergebnisse zu bekommen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Do 23.01.2014 | | Autor: | Peri2 |
ok, danke erst einmal für die schnelle Antwort!
Folgendes habe mit meinem Taschenrechner berechnet:
Lo= -2139,4
L1= 6680,9
L2= -6966
L3= 2425,6
Wie errechne bzw. setzte ich jetzt, diese oben genannten Lösungen mit den Funktionen (Zuschauerzahlen), in die Gleichung für das Interpolationspolynom ein?
Vielen Dank für die Mühe!
|
|
|
| |
|
Hallo,
was soll das sein? Du benötigst hier vier Basisfunktionen in Form von Polynomen, keine festen Werte.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Do 23.01.2014 | | Autor: | Peri2 |
ok, jetzt aber oder?
L0= - x³/6 + 3x²/2 - 13x/3 + 4
L1= x³/2 + 4x² - 24x
L2= - x³/2 + 7x²/2 - 7x + 4
L3= x³/6 - x² + 11x/6 - 1
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Do 23.01.2014 | | Autor: | Peri2 |
Gut.
Leider nicht so richtig. ich muss ja jetzt das Interpolationspolynom berechnen. Laut wikipedia muss ich ja jetzt irgendwie zu jeder Basisfunktion die dazugehörigen Funktionen zuordnen bzw. Multiplizieren oder? So richtig geht das nämlich nicht so hervor dort.
Vielen Dank nochmals!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Do 23.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gut.
>
> Leider nicht so richtig. ich muss ja jetzt das
> Interpolationspolynom berechnen. Laut wikipedia muss ich ja
> jetzt irgendwie zu jeder Basisfunktion die dazugehörigen
> Funktionen zuordnen bzw. Multiplizieren oder? So richtig
> geht das nämlich nicht so hervor dort.
Doch. Das geht glasklar aus dem Wikiartikel hervor:
Du hast 4 Wertepaare [mm] (x_i,f_i) [/mm] (i=0,...,3)
Gesucht: Polynom p mit [mm] p(x_i)=f_i [/mm] (i=0,...,3)
Bestimmt hast Du schon die Polynome [mm] L_0,...,L_3. [/mm] Dann ist
[mm] p(x)=\summe_{i=0}^{3}f_i*L_i(x)
[/mm]
FRED
> Vielen Dank nochmals!
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Do 23.01.2014 | | Autor: | Peri2 |
Also muss ich nun f(x0)= 24317 mit L0 multiplizieren anschließend mit
f(x1)= 22101 * L1 addieren usw. richtig???
Quasi sieht die Formel dann so aus: y ist jetzt die Zuschauerzahl:
y0* L0(x)+ y1* L1(x)+ y2*L2(x)+ y3*L3(x)
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Also muss ich nun f(x0)= 24317 mit L0 multiplizieren
> anschließend mit
> f(x1)= 22101 * L1 addieren usw. richtig???
>
> Quasi sieht die Formel dann so aus: y ist jetzt die
> Zuschauerzahl:
>
> y0* L0(x)+ y1* L1(x)+ y2*L2(x)+ y3*L3(x)
Ja: das ist der Weg jetzt. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Do 23.01.2014 | | Autor: | Peri2 |
kann es sein das die Rechnung bzw. rechnerei jetzt extrem groß wird?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Do 23.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> kann es sein das die Rechnung bzw. rechnerei jetzt extrem
> groß wird?
Extrem nicht, aber etwas üppiger schon. Das ist halt der Nachteil dieser Methode.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 Fr 24.01.2014 | | Autor: | Peri2 |
Guten morgen,
also ich habe jetzt einiges ausprobiert bei der ersten Rechnung, sprich für
y0*L0
[mm] 24317*((-(x^3/6)) [/mm] + [mm] (3x^2/2) [/mm] - (13x/3) + 4)
Für diesen Term habe ich:
[mm] ((-24317*x^3 [/mm] - [mm] 413389*x^2)/6)+97268
[/mm]
Soll das stimmen? Wie kann ich diese relativ einfach lösen?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Guten morgen,
>
> also ich habe jetzt einiges ausprobiert bei der ersten
> Rechnung, sprich für
> y0*L0
>
> [mm]24317*((-(x^3/6))[/mm] + [mm](3x^2/2)[/mm] - (13x/3) + 4)
>
> Für diesen Term habe ich:
>
> [mm]((-24317*x^3[/mm] - [mm]413389*x^2)/6)+97268[/mm]
>
> Soll das stimmen?
Nein, es ist falsch. Mit ein wenig mehr Gründlichkeit hättest du das selbst einehen können (wo ist bsp. das x geblieben, wo bekommst du plötzlich die 6 im Nenner her, usw.).
Wie kann ich diese relativ einfach
> lösen?
Also wenn du wirklich mit Lagrangeschen Basisfunktionen arbeiten sollst, dann geht es nach meiner Kenntnis nicht einfacher. Habt ihr vielleicht den Newton-Algorithmus durchgenommen oder etwas in der Art? Oder soll das ganze am Ende - völlig simpel - einfach nur per 4x4-LGS berechnet werden?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:33 Fr 24.01.2014 | | Autor: | Peri2 |
Ja es ist so vorgesehen das hier mit der Lagrangeschen Basisfunktionen gearbeitet werden soll. Könntest du dir die arbeit machen und nur für y0* L0 mir den weg zeigen, sodass ich das dann auf die anderen anwenden kann. Vielen Dank für die Mühe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 Fr 24.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> Ja es ist so vorgesehen das hier mit der Lagrangeschen
> Basisfunktionen gearbeitet werden soll. Könntest du dir
> die arbeit machen und nur für y0* L0 mir den weg zeigen,
> sodass ich das dann auf die anderen anwenden kann.
nein, dafür stehe ich nicht zur Verfügung. Vielleicht findet sich ja jemand, aber ich sag mal so: wir sind hier nicht der Rechen-Dauerdienst sondern ein ernsthaftes Forum. Und das Multiplizieren eines Polynoms mit einem konstanten Faktor, sowie das anschließende aufaddieren von vier Polynomen ist vom Schwierigkeitsgrad her Stoff Klasse 7 am Gymnasium. Von daher würde ich dich bitten, den rechnerischen Teil schon selbst zu erledigen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Fr 24.01.2014 | | Autor: | Peri2 |
also laut Ausklammern und dem zusammenbringen der verschiedenen [mm] x^n [/mm] habe ich nun folgende Funktion als eventuelle Lösung berechnet:
[mm] 64499x^3/6 -11494x^3 [/mm] + [mm] 72951x^2/2 [/mm] - [mm] 30459x^2 [/mm] + -384599x/6 +
(98087/2)x + 34101
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Fr 24.01.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> also laut Ausklammern und dem zusammenbringen der
> verschiedenen [mm]x^n[/mm] habe ich nun folgende Funktion als
> eventuelle Lösung berechnet:
>
> [mm]64499x^3/6 -11494x^3[/mm] + [mm]72951x^2/2[/mm] - [mm]30459x^2[/mm] + -384599x/6 +
>
> (98087/2)x + 34101
Warum hast du nicht vollständig zusammengefasst und je 2 Summanden
pro [mm] $x^n$ [/mm] stehen lassen?
Bis auf 34101, scheinen mir die Zahlen auch nach dem zusammenrechnen
falsch zu sein.
Gruß
meili
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Fr 24.01.2014 | | Autor: | Peri2 |
echt? Also meine erste Rechnung war folgende:
[mm] (-(24317x^3)/6) [/mm] + [mm] ((22101x^3)/2) [/mm] + (- [mm] 11494x^3) [/mm] + [mm] ((22513x^3)/6)
[/mm]
so komme ich dann auf:
[mm] ((64499x^3)/6)-11494x^3
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Sa 25.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> echt? Also meine erste Rechnung war folgende:
>
> [mm](-(24317x^3)/6)[/mm] + [mm]((22101x^3)/2)[/mm] + (- [mm]11494x^3)[/mm] +
> [mm]((22513x^3)/6)[/mm]
>
> so komme ich dann auf:
>
> [mm]((64499x^3)/6)-11494x^3[/mm]
ich auf > [mm]((64398x^3)/6)-11494x^3[/mm]
und das noch zusammenfassen
Gruß leduart
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Peri2 |
So jetzt müsste es aber stimmen oder
[mm] (-761x^3) [/mm] + [mm] 6016,5x^2 [/mm] - ((45169/3)x) + 34101
wenn ja, kann ich mit dieser Gleichung jetzt schon den fünften Spieltag bestimmen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Sa 25.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab einfach überprüft ob für x=1 und x=2 das richtige rauskommt, das ist nicht der Fall, also muss es falsch sein. Die Probe ist mit einem TR leicht zu machen.
Wenn es für 1 bis 4 stimmt, musst du einfach nur 5 einsetzen.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Sa 25.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
der Faktor vor [mm] x^3 [/mm] ist nicht richtig. Alle anderen Faktoren stimmen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 So 26.01.2014 | | Autor: | Peri2 |
Also die rinchtige Gleichung lautet:
[mm] (-(4465x^3/6)) [/mm] + [mm] 6016,5x^2 [/mm] - (45169x/3) + 34101
somit komme ich bei allen vorgegebenen Spieltagen auf die richige Zuschauerzahl und am Tag 5 kommen dann wahrscheinlich leider nur noch 16211 Zuschauer.
Vielen Dank an alle die mir geholfen haben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 So 26.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
das ist richtig.
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
