Polynom < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich hab mal wieder eine Aufgabe bekommen zu der ich leider überhaupt keine Idee habe....!
Zeigen Sie: Ein Polynom P [mm] \not= [/mm] 0 hat in a [mm] \in \IR [/mm] genau dann eine Nullstelle der Vielfachheit k [mm] \ge [/mm] 1 wenn gilt:
P(a)=.....= [mm] P^{k-1} [/mm] (a) = 0, aber [mm] P^{k} \not= [/mm] 0
Bin für jeden Tipp dankbar :)!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:58 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Nadja |
hi
leider habe ich hier zwei Aufgaben mit der ich überhaupt nicht weiterkomme. Ich weiß noch nicht mal den Ansatz.
Kann jemand helfen?
1)
Zeigen Sie: Ein Polynom P [mm] \not= [/mm] 0 hat in a [mm] \in \IR [/mm] genau dann eine Nullstelle der Vielfachheit k>=1, wenn gilt:
P(a)=...=P^(k-1) (a)=0, aber p^(k) (a) [mm] \not= [/mm] 0.
2)
Seien f,g : [a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig und differenzierbar in allen Punkten in (a,b). Es gelte
f(a) = g(a) und 0<=f´(x) < g´(x) für x [mm] \in [/mm] (a,b).
Zeigen Sie : f(x) < g(x) für alle x [mm] \in [/mm] (a,b].
Nadja
Ich habe diese Aufgabe in keinen anderen Forum gestellt.
|
|
|
| |
|
Hallo albagubrath,
ich kann leider mit deiner Angabe nix anfangen. Was meinst du denn mit [mm] P^{k-1} [/mm] und [mm] P^k [/mm] ?
Hugo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Di 14.12.2004 | | Autor: | Chlors |
Hallo,
ich muss diese Aufgabe auch bearbeiten. Ich habe mich auch schon gefragt, wofür [mm] P^{(k-1)} [/mm] und [mm] P^{(k)} [/mm] stehen soll und zwar habe ich überlegt, ob das die Folge der einzelnen Ableitungen sein soll, könnte dies möglich sein??? also P(a) ist die normale Funktion, [mm] P^{(1)} [/mm] (a) ist die erste Ableitung usw., würde das Sinn ergeben im Zusammenhang der Aufgabe??
Liebe Grüße, Conny.
ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
|
| |
|
Hallo ihr drei,
per Induktion kann man diese Aussage zeigen.
Und zwar funktioniert der Induktionsschritt so, dass man zeigt, dass eine Funktion mit j-facher Nullstelle noch eine (j-1)-fache Nullstelle in der ersten Ableitung besitzt. Der Beweis hiervon dürfte über die Produktregel der Ableitung funktionieren.
Der Induktionsanfang ist, dass bei einer einfache Nullstelle keine waagerechte Tangente vorliegt.
Viel Spaß beim weiteren Nachdenken.
Hugo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Chlors |
Hallo,
ich habe mir folgendes überlegt, bin mir aber nicht sicher, ob das richtig ist und ob das als Beweis reicht :
[mm] "\richtarrow" [/mm] gegeben: [mm] k\ge1, [/mm] woraus folgt, dass k element der natürlichen Zahlen, also k=n, eine n-fache Nullstelle.
In der Aufgabe war noch angegeben, dass ein Polynom eine k-fache Nullstelle in a [mm] \in \IR [/mm] hat, falls [mm] P(x)=(x-a)^{k}*Q(x) [/mm] mit Q(a) [mm] \not= [/mm] 0 , wobei Q(x) auch ein Polynom ist.
[mm] P(a)=(a-a)^{n}*Q(a)=\underbrace{(a-a)*...*(a-a)}_{n-mal} [/mm] *Q(a)=0
[mm] P^{(1)}(a)=n*(a-a)^{n-1}*Q(a)+(a-a)^n*Q^{(1)}(a)=0
[/mm]
[mm] P^{(2)}(a)=n*(n-1)*(a-a)^{n-2}*Q(a)+2n*(a-a)^{n-1}*Q^{(1)}+(a-a)^{(n)}*Q^{(2)}(a)=0
[/mm]
damit die Summe nicht Null wird, muss ein Summand ungleich Null werden; der erste Summand wird am schnellsten nicht Null, da [mm] (x-a)^{n} [/mm] nicht für x=a Null wird, wenn n=0; deswegen genügt es im Weiteren nur den ersten Summanden zu betrachten.
.
.
[mm] P^{(n-1)}(a)=n*(n-1)*...*2*(a-a)^{(1)}*Q(x)+...+(a-a)^{n}*Q^{(n-1)}(a)=0
[/mm]
[mm] P^{(n)}(x)=\underbrace{n*(n-1)*...*1}_{\not=0}*\underbrace{(x-a)^{n-n}_{=1}}*\underbrace{Q(x)}_{\not=0 für a}+....+\underbrace{(x-a)^{n}*Q^{(n)}(x)}_{=0 für a}
[/mm]
daraus folgt : [mm] P^{(n)}(a)=n*(n-1)*...*1*Q(a) \not=0
[/mm]
also insgesamt [mm] P(a)=....=P^{(k-1)}(a)=0 [/mm] und [mm] P^{(n)}(a)\not=0 [/mm]
[mm] (P^{(n)}(a) [/mm] ist die n-te Ableitung von P an der Stelle a)
[mm] "\Leftarrow" [/mm] gegeben: [mm] P(a)=.....=P^{(k-1)}(a)=0 [/mm] und [mm] P^{(n)} \not=0
[/mm]
[mm] \underbrace{P^{(0)}(a)=....=P^{(k-1)}(a)}_{k-mal}=0
[/mm]
also hat P eine k-fache Nullstelle bei a, wobei [mm] k\ge1
[/mm]
vielen dank für eure Hilfe.
Liebe Grüße, Conny.
|
|
|
| |
|
Ich muss gestehen, ich bin ein wenig verwirrt.
Du kannst dir ein großen Teil der Arbeit sparen, indem du nur beweist:
f hat eine k-fache Nullstelle bei [mm] x_0 \Rightarrow [/mm] f' hat eine (k-1)-fache Nullstelle bei [mm] x_0
[/mm]
Mit Induktion kannst du die Vielfachheit dann ohne mühsame Rechnung dann bis zur k-ten Ableitung verfolgen. Eine nullfache Nullstelle ist dann eben keine Nullstelle mehr.
Versuch doch mal diese Variante.
Hugo
|
|
|
|
