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| Aufgabe | Es sei [mm] V=\{f:\IR \to \IR | \exists a_0 ... a_4 \in \IR \wedge f(x)=\summe_{i=0}^{4}a_ix^i \forall x \in \IR\}
[/mm]
und [mm]\varphi(f)(x) = f''(x)+x*f'(x)-f(x+1)[/mm]
Berechnen Sie die Matrix [mm] M_B(\varphi) [/mm] bezgl. einer Basis B von V. |
Hi,
also ich hab als Basis [mm] B=(1,x,x^2,x^3,x^4) [/mm] gewählt. Soweit okey?
Danach die Bilder berechnet:
[mm] \varphi(1)(x) [/mm] = 0 + 0 -1 = -1
[mm] \varphi(x)(x) [/mm] = 0 + x - x -1 = -1
[mm] \varphi(x^2)(x) [/mm] = [mm] x^2-2x-1
[/mm]
[mm] \varphi(x^3)(x) [/mm] = [mm] 2x^3-3x^2+3x-1
[/mm]
[mm] \varphi(x^4)(x) [/mm] = [mm] 3x^4-4x^3+6x^2-4x-1
[/mm]
Um die Abb.Matrix zu bekommen muss ich diese jetzt noch linear kombinieren das wäre dann:
[mm] \pmat{ -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3}
[/mm]
Korrekt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Mo 27.09.2010 | | Autor: | DrNetwork |
JAAA :) Der VZF ist eigentlich auch ein Verschreibefehler, top :) Danke Dann rechne ich mal weiter.
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| Aufgabe | | [mm] Kern(\varphi) [/mm] |
Damit wäre der [mm] Kern(\varphi) [/mm] = [mm] \left< \vektor{-1 \\ 1\\ 0\\ 0\\ 0} \right> [/mm] wobei ich zweifel ob das es ein Spaltenvektor ist.
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Hallo nochmal,
> [mm]Kern(\varphi)[/mm]
> Damit wäre der [mm]Kern(\varphi)[/mm] = [mm]\left< \vektor{-1 \\
1\\
0\\
0\\
0} \right>[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wobei ich zweifel ob das es ein Spaltenvektor ist.
Schreibe es doch wieder als Polynom.
Welches "Spann"-Polynom verbirgt sich denn hinter diesem Koordinatenvektor?
LG
schachuzipus
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> Welches "Spann"-Polynom verbirgt sich denn hinter diesem
> Koordinatenvektor?
x-1
Als nächste Teilaufgabe soll ich das berechnen:
Sei g [mm] \in [/mm] V mit [mm] g(x)=3x^4+2x^3-x+1. [/mm] Berechnen Sie [mm] \varphi^{-1}({g})
[/mm]
Ich dachte ich muss die Abb.Matrix invertieren und dann g dran multiplizieren. Aber die Abb.Matrix ist nicht invertierbar. Was muss man da tun?
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Hallo nochmal,
> > Welches "Spann"-Polynom verbirgt sich denn hinter diesem
> > Koordinatenvektor?
>
> x-1
>
> Als nächste Teilaufgabe soll ich das berechnen:
>
> Sei g [mm]\in[/mm] V mit [mm]g(x)=3x^4+2x^3-x+1.[/mm] Berechnen Sie
> [mm]\varphi^{-1}({g})[/mm]
>
> Ich dachte ich muss die Abb.Matrix invertieren und dann g
> dran multiplizieren. Aber die Abb.Matrix ist nicht
> invertierbar. Was muss man da tun?
Das kansnt du doch zu Fuß mittels Koeffizientenvergleich ausrechnen.
Gesucht ist das Urbild von [mm] $g(x)=3x^4+2x^3-x+1$
[/mm]
Also ein [mm] $f=f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$ [/mm] mit [mm] $\varphi(f(x))=g(x)$
[/mm]
Rechne mal [mm] $\varphi(f(x))$ [/mm] aus und vergleiche koeffizientenweise mit $g(x)$ ...
Gruß
schachuzipus
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