Polyeder kein reg. Rand < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:34 Mi 16.09.2015 | | Autor: | havoc1 |
| Aufgabe | Keine konkrete Aufgabe:
Wieso besitzt ein Quader (einfaches Polyeder) keinen regulären Rand. |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit dem Satz v. Gauß und regulären Gebieten. Dabei ist mir die Definition vom regulären Rand aufgefallen. Als Beispiel für Gebiete ohne regulären Rand wurden Polyeder angegeben. Ich habe nun versucht das für den einfach Quader nachzuvollziehen:
[mm] \Omega=\{(x_1, x_2) \in \IR^{2} | 0 \le x_1 \le 1, 0\le x_2 \le 1 \}
[/mm]
Sei U eine beliebige offene Umgebung im Punkt (0,0)
Ich bin mir sehr sicher, dass keine Funktion g auf U (egal wie man U wählt) existiert die folgendes erfüllt:
g ist stetig differenzierbar in U
Der Gradient von g im Punkt (0,0) ist von Null verschieden.
U [mm] \cap \partial \Omega [/mm] = [mm] \{x \in U | g(x)=0 \} [/mm]
U [mm] \cap \Omega [/mm] = [mm] \{x \in U | g(x)<0 \}
[/mm]
Damit wäre natürlich gezeigt dass Omega nicht regulär ist. Ich weiß aber nicht wie ich diese "nichtexistenz" zeigen kann. (Sofern meine Überlegung überhaupt soweit stimmt)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Mi 16.09.2015 | | Autor: | fred97 |
Wir können annehmen: [mm] U=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2
Wir nehmen an, es gäbe eine Funktion g mit den obigen Eigenschaften.
Sei 0<t<r. Dann ist $(t,0) [mm] \in [/mm] U [mm] \cap \partial \Omega [/mm] $ , also
g(t,0)=0.
Wegen $(0,0) [mm] \in [/mm] U [mm] \cap \partial \Omega [/mm] $ ist auch
g(0,0)=0.
Damit haben wir:
[mm] g_x(0,0)=\limes_{t \rightarrow 0}\bruch{g(t,0)-g(0,0)}{t}=0.
[/mm]
Da auch $(0,t) [mm] \in [/mm] U [mm] \cap \partial \Omega [/mm] $, zeigt man genauso
[mm] g_y(0,0)=0.
[/mm]
Wir haben also den Widerspruch $gradg(0,0)=(0,0).$
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:07 Mi 16.09.2015 | | Autor: | havoc1 |
Danke, das war ja gar nicht so schwer. Was mich nun wirklich verblüfft hat ist die Tatsache das die Stetigkeit der Ableitung gar nicht ins Spiel kam.
Woran liegt das? Es würde ja nicht gefordert werden wenn es nicht nötig wäre, kannst du kurz (evtl. anschaulich) erklären wieso und in welchen Fällen die Stetigkeit der Ableitung benötigt wird.
*edit1*
Eine kurze Frage noch, wenn die Ecke keinen Winkel von 90° hat, dann lässt sich das vorgehen ja nur mit Richtungsableitungen wiederholen. Davon kann man meines wissens aber nicht auf den Gradienten schließen, wie modifiziert man das vorgehen dann geeignet?
*edit2*
Ok, da habe ich selbst eine Idee. Falls der Gradient Null wäre, könnte man die Richtungsableitungen darstellen als Produkt aus Gradient und cos(theta) wobei theta der Winkel zwischen dem Gradienten und dem Richtungsvektor meint. Dieser sei oBdA. nicht pi/2. Dann muss aber gelten
||grad g(x)||=0
Da die Norm homogen ist muss grad g(x)=0 sein. Widerspruch zur Annahme.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:02 Mo 21.09.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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