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Ich habe die Funktion [mm] f(x)=\bruch{12}{x^2 +12}
[/mm]
Wir haben in der Schule rausbekommen,dass es keine Polstellen gibt...
Aber woran sehe ich das???
Bitte um eine Antwort...
MFG 
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> Ich habe die Funktion [mm]f(x)=\bruch{12}{x^2 +12}[/mm]
> Wir haben
> in der Schule rausbekommen,dass es keine Polstellen
> gibt...
Ahem: keine reellen Polstellen.
> Aber woran sehe ich das???
Bei einer rationalen Funktion z.B. daran, dass ihr Nennerpolynom keine Nullstellen hat. D.h. in diesem Falle hat [mm] $x^2+12=0$ [/mm] keine (relle) Lösung.
Allerdings folgt daraus, dass das Nennerpolynom einer rationalen Funktion (reelle) Nullstellen hat noch nicht, dass sie an diesen Stellen auch Polstellen hat. Betrachte z.B. das Standardbeispiel [mm] $\frac{x^2-1}{x-1}$. [/mm] Bei dieser rationalen Funktion lässt sich der Nenner (ausser für $x=1$) wegkürzen. Dies bedeutet, dass diese Funktion, ausser an der Stelle $x=1$ mit der linearen Funktion $x+1$ übereinstimmt. An der Stelle $x=1$ hat sie deshalb keine Polstelle, ist dort aber, streng genommen, nicht definiert. Wenn wir den Funktionsterm in solchen Fällen einfach kürzen, erweitern wir somit in der Regel den Definitionsbereich der betreffenden rationalen Funktion.
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könntest du mir mal ein beispiel von einer funktion geben,die eine polstelle hat und dies rechnerisch mal zeigen?? ist für meine letzte mathearbeit an der schule
Das wäre nett...
MFG
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also bedeutet das jetzt, dass es polstellen bei definitionslücken gibt????
wann gibt es einen vorzeichenwechsel
LIebe Grüße
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> also bedeutet das jetzt, dass es polstellen bei
> definitionslücken gibt????
Eine Polstelle ist immer auch eine Definitionslücke: dort erhältst Du ja, wenn Du den Wert des Funktionsterms ausrechen willst, eine Division durch $0$, deren Wert also nicht definiert ist.
Polstellen sind somit spezielle Definitionslücken.
> wann gibt es einen vorzeichenwechsel
Bei einer Polstelle [mm] $x_0$? [/mm] - Genau dann, wenn die Ordnung der Polstelle [mm] $x_0$ [/mm] ungerade ist. Das heisst: wenn, nach eventuellem Kürzen gegen im Zähler enthaltenen Linearfaktoren [mm] $(x-x_0)$, $x_0$ [/mm] eine Nullstelle ungerader Ordnung des (so gekürzten) Nennerpolynoms ist.
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Hey,
eine Polstelle bei [mm] x_0 [/mm] liegt genau dann vor, wenn [mm] x_0 [/mm] eine Nullstelle des Nenners ist und [mm] x_0 [/mm] keine Nullstelle des Zählers ist.
So hat z.B. [mm] \frac{x^3}{x^2-9} [/mm] bei [mm] \pm3 [/mm] jeweils eine Polstelle (mit VZW),
denn [mm] x^2-9=0 \gdw x=\pm3 [/mm] aber [mm] {(\pm3)}^{3}\not=0.
[/mm]
Gruß Patrick
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das heisst also wenn ich eine funktion habe:
[mm] f(x)\bruch{x^5}{x^2-64}
[/mm]
ist dann die polstelle bei 8?????
geht das mit den wendestellen genauso<???
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Teenie88w |
sorry ,das mit den wendestellen gehört da nicht rein ... ;_)
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Hallo Teenie88w,
> das heisst also wenn ich eine funktion habe:
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> [mm]f(x)\bruch{x^5}{x^2-64}[/mm]
>
> ist dann die polstelle bei 8?????
Ja, eine davon.
Alle Nullstellen des Nenners, die nicht Nullstellen des Zählers sind, sind Polstellen.
>
> geht das mit den wendestellen genauso<???
>
>
> Liebe Grüße
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Teenie88w |
Der Groschen ist gefallen..Danke..
Es muss auch noch -8 sein,wegen der wurzel
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Genau 
Also nur um nochmal alles zusammenzufassen:
Eine gebrochenrationale Funktion teilt sich auf in Zähler und Nenner, die beide Polynome sind.
Die Nullstellen des Zählers sind Nullstellen der gesamten Funktion. Warum? Weil nur wenn ein Bruch im Zähler eine 0 hat, auch der gesamte Bruch 0 wird.
Die Nullstellen des Nenners sind Polstellen der Funktion. Warum? An diesen Stellen ist der Nenner 0, doch wenn ich x-Werte, die ganz nah bei diesen Stellen liegen einsetze, ist der Nenner ziemlich klein. Und wir wissen: Eine Zahl durch etwas ziemlich kleiner wird ziemlich groß , z.B. ist
[mm] \bruch{1}{0.00001} [/mm] = 100000.
Es gibt aber auch Ausnahmen: Hat der Zähler und der Nenner dieselbe Nullstelle, dann liegt dort eine Definitionslücke vor. Da gibt es keine Polstelle, die nach [mm] \pm\infty [/mm] strebt, sondern der Graph der Funktion wird einfach weiter gezeichnet. Du kannst dir beispielsweise die Funktion
[mm] \bruch{(x-1)*(x+2)}{(x-1)*(x+3)}
[/mm]
ansehen. An der Stelle x = 1 haben Zähler und Nenner eine Nullstelle, dort passiert mit dem Graphen nichts besonderes. Trotzdem ist die Funktion an der Stelle x = 1 nicht definiert, auch wenn es im Graphen anders aussieht.
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