Polstelle, Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:53 Fr 29.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo leute
eine frage zu den lücken.
hab da die funktion, [mm] f(x)=arctan\left( \bruch{2*x}{1-x^2} \right)
[/mm]
ich muss hier ne kurvendisussion durchführen....aber das ist nicht meine frage sondern wie finde ich hier die lücken, polstellen, unstetigkeitsstellen.
ich weis ja, dass wenn der nenner null ist, dort dich eine lücke befindet.....aber wie sieht diese aus, ist das ne polstelle oder eine sprungstelle.
ich komm da irgendwie nicht weiter......hab schon einiges durchgelesen...aber überall steht etwas anderes drin......kann das mir jemand erklären, was genau ne polstelle, unstetigkeitsstelle, hebbare, sprungstelle ist.
wäre sehr dankbar
danke im voraus
mfg koko
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Fr 29.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo leute....
kann mir denn keiner sagen, welche polstellen, sprungstellen die funktion [mm] arctan(\bruch{2*x}{1-x^2}) [/mm] hat.
ich wäre sehr dankbar für jede hilfe, jeden tipp???
mfg koko
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Hallo,
vielleicht hilft dir eine Graphik weiter?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es ist ja [mm] $\limes_{x \to \infty} [/mm] arctan(x) = [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] und [mm] $\limes_{x \to -\infty} [/mm] arctan(x) = [mm] -\bruch{\pi}{2}$.
[/mm]
Demnach hättest Du für deine Funktion
$f(x) = [mm] arctan\left(\bruch{2x}{1-x^2}\right)$
[/mm]
an den Stellen x=-1 und x= 1 Sprungstellen. Wenn Du dich dem Wert x=1 von links näherst, geht das Argument gegen [mm] +\infty [/mm] und der Funktionswert gegen [mm] \bruch{\pi}{2}; [/mm] näherst Du dich dem Wert x=1 von rechts geht das Argument gegen [mm] -\infty [/mm] und der Funktionswert gegen [mm] -\bruch{\pi}{2}.
[/mm]
Ich nehme an, dass es sich um keine Polstellen handelt, weil der Funktionswert ja nicht gegen [mm] \pm [/mm] Unendlich geht.
Aber vielleicht kann noch einer der Mathematiker etwas dazu sagen.
LG, Martinius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: WMF) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Fr 29.02.2008 | | Autor: | koko |
hallo
ja ich glaube du hast recht, denn wenn ich es plotte sehe ich das deine überlegungen richtig sein müssen.
ich hab allerdings noch eine frage, wie berechnest du die grenzwerte, wenn du einmal von rechts bzw. einmal von links hergehst....das ist mir nicht klar.....
denn wenn du nach 1 vo rechts gehst, dann hat man ja eigentlich eine durch null division im aargument, oder wie rechnest du dass???
wäre sehr nett wenn mir das jemand erklären könnt
danke im voraus
mfg koko
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Hallo koko,
ich habe ja nicht x=1 im Argument eingesetzt. Ich nehme an, dass Du da schon recht hast und die Funktion für [mm] x=\pm1 [/mm] nicht definiert ist, also eine Definitionslücke und gleichzeitig Unstetigkeit vorliegt, da der linksseitige Grenzwert nicht dem rechtsseitigen Grenzwert an beiden Stellen entspricht.
für x<1 ist [mm] \limes_{x \to 1}f(x) [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm]
für x>1 ist [mm] \limes_{x \to 1}f(x) [/mm] = [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm]
Das ist nur eine Grenzwertbildung für die links- bzw. rechtsseitige Annäherung an die Stelle x=1.
Formal könnte man das rechnen, indem man für x eine Folge einsetzt, die von links oder rechts gegen 1 konvergiert und dann den Grenzwert bildet, also z. B.
[mm] $\limes_{n \to \infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)$ [/mm] und
[mm] $\limes_{n \to \infty}\left(1-\bruch{1}{n}\right)$
[/mm]
also
[mm] $\limes_{n \to \infty} arctan\left(\bruch{2*(1+\bruch{1}{n})}{1-(1+\bruch{1}{n})^2} \right)$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n \to \infty} arctan\left(\bruch{2*(1+\bruch{1}{n})}{1-(1+\bruch{2}{n}+(\bruch{1}{n})^2)} \right)$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n \to \infty} arctan\left(\bruch{2*(1+\bruch{1}{n})}{-\bruch{2}{n}-(\bruch{1}{n})^2} \right)$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n \to \infty} arctan\left(\bruch{2n+2}{-2-\bruch{1}{n}} \right)=-\bruch{\pi}{2}$
[/mm]
das wäre der rechtsseitige Grenzwert für x=1.
Der linksseitige:
[mm] $\limes_{n \to \infty} arctan\left(\bruch{2*(1-\bruch{1}{n})}{1-(1-\bruch{1}{n})^2} \right)$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n \to \infty} arctan\left(\bruch{2*(1-\bruch{1}{n})}{1-(1-\bruch{2}{n}+(\bruch{1}{n})^2)} \right)$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n \to \infty} arctan\left(\bruch{2*(1-\bruch{1}{n})}{\bruch{2}{n}-(\bruch{1}{n})^2} \right)$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n \to \infty} arctan\left(\bruch{2n-2}{2-\bruch{1}{n}} \right)=\bruch{\pi}{2}$
[/mm]
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Sa 01.03.2008 | | Autor: | koko |
ja ok danke
aber wie berchechnest du das wenn du einmal von links und einmal von rechts kommst.....das wäre für mir sehr wichtig zu wissen.....
und ja, wenn ich 1 einsetzte dann existiert ja dder funktionswert nicht, da durc null ja nicht definiert ist........aber hab ich da dann ne polstelle......wahrscheinlich nicht oder, denn bei ner polstelle nähert sich die funktion der polstelle an........aber ich krieg ja für meine links bzw. rechtsseitifgen grenzwerte einmal [mm] \pi/2 [/mm] und einmal [mm] -\pi/2......was [/mm] heist das dann genau.........dass sich die funktion nach x auf diesen wert annähert.......
danke schon mal 
mfg koko
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Hallo,
ich habe meinem vorherigen Post noch etwas beigefügt, zur links- und rechtsseitigen Grenzwertbildung.
Dann habe ich in Wikipedia nachgesehen. Dort steht:
"In der Mathematik bezeichnet man eine einpunktige Definitionslücke einer Funktion als Polstelle oder auch kürzer als Pol, wenn die Funktionswerte in jeder Umgebung des Punktes (betragsmäßig) beliebig groß werden."
Damit habe wir ja an den Stellen x = [mm] \pm [/mm] 1 keine Polstellen vorliegen, da die Funktionswerte dort nicht beliebig groß werden. Es handelt sich also um eine unstetige Definitionslücke (mit Vorzeichenwechsel).
Wie die Mathematiker nun den Begriff "Sprungstelle" definieren weiß ich nicht. Ich bin ja nur Mathematik-Laie.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Sa 01.03.2008 | | Autor: | koko |
ja hallo
vielen vielen dank an dich
aber eins chekch ich nicht ganz, wenn du da deine folge einsetzten tust, dann kriegts ja aber für n nach unendlich im nenner wieder null......also nicht definiert........wie rechnest du dann den grenzwert aus......könntest du, ihr mir weiterhelfen.......
danke
mfg koko
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Hallo koko,
sorry, es war mein Fehler; ich hatte nicht fertig gerechnet. Schau noch mal in obigem post nach.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Sa 01.03.2008 | | Autor: | koko |
hallo nochmals
also kann mir jemand sagen was das für eine lücke ist, ich kann nämlich nicht unterscheiden zwischen einer polstelle, einer sprungstelle, und einer hebbaren.......wie kann ich diese unterscheiden, bzw. zeigen um was für eine es sich handelt???
also konkret bei der funktion
[mm] f(x)=arctan(\bruch{2*x}{1-x^2})
[/mm]
denn hier ist sie ja an den stellen 1, -1 nicht definiert......aber wie sehen diese lücken aus, und wie kann ich zeigen dass es sich genau um diese handelt?
kann mir da jemand bitte helfen...
danke im voraus
mfg koko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo koko!
> also kann mir jemand sagen was das für eine lücke ist, ich
> kann nämlich nicht unterscheiden zwischen einer polstelle,
Polstelle = Definitionslücke mit vertikaler Asymptote
> einer sprungstelle,
Unstetigkeitsstelle, an der der Funktionsgraph eine Sprung macht; d.d. der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert sind unterschiedlich (und $< \ [mm] \pm\infty$ [/mm] ).
> und einer hebbaren.......
Definitionslücke / Untstetigkeitsstelle, deren linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.
> also konkret bei der funktion
>
> [mm]f(x)=\arctan(\bruch{2*x}{1-x^2})[/mm]
>
> denn hier ist sie ja an den stellen 1, -1 nicht
> definiert......aber wie sehen diese lücken aus, und wie
> kann ich zeigen dass es sich genau um diese handelt?
Mach Dir erst einmal klar, gegen welche Werte der Bruch [mm] $\bruch{2*x}{1-x^2}$ [/mm] geht. und dabei jeweils den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert betrachten.
Anschließend dann für diese ermittelten Werte mit dem [mm] $\artan$ [/mm] vorgehen. Aber das wurde dir oben auch schon ausführlich gezeigt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Loddar |
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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