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| Aufgabe 1 | a) Stellen Sie folgende Zahlen in Polarkoordinaten dar:
42i
1 + i
[mm] -\bruch{1}{2}+i\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}-i\bruch{1}{2} [/mm] |
| Aufgabe 2 | b) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil folgender Zahlen
(1 - 3i) * [mm] \overline{2+1}
[/mm]
[mm] \bruch{1-i}{1+i}
[/mm]
[mm] (\bruch{1+i}{\wurzel{2}})^{17}
[/mm]
und siehe bild |
a)
42e^pi*i
[mm] \wurzel{3}2e^{\bruch{pi}{4}*i}
[/mm]
[mm] e^{\bruch{5pi}{3}*i}
[/mm]
[mm] e^{\bruch{11pi}{6}*i}
[/mm]
b)
(1 - 3i) * [mm] \overline{2+1}= [/mm] (1-3i)* [mm] (2-i)=2-i-6i+3i^2=-1-7i
[/mm]
[mm] \bruch{1-i}{1+i}= \bruch{(1-i)*1-i)}{(1+i)*(1-i)}=\bruch{-2i}{2}=-i
[/mm]
[mm] (\bruch{1+i}{\wurzel{2}})^{17}= (\bruch{(1+i)*(-\wurzel{2})}{(\wurzel{2})*(-\wurzel{2})})^{17}=(\bruch{(1+i)*(-\wurzel{2})}{-2})^17
[/mm]
wie geht es hier weiter?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> a) Stellen Sie folgende Zahlen in Polarkoordinaten dar:
>
> 42i
>
> 1 + i
>
> [mm]-\bruch{1}{2}+i\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}-i\bruch{1}{2}[/mm]
> b) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil folgender Zahlen
>
> (1 - 3i) * [mm]\overline{2+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1-i}{1+i}[/mm]
>
> [mm](\bruch{1+i}{\wurzel{2}})^{17}[/mm]
>
> und siehe bild
> a)
>
> 42e^pi*i
Du meinst pi/2 (also 90 °) statt pi.
>
> [mm]\wurzel{3}2e^{\bruch{pi}{4}*i}[/mm]
Du meinst [mm] \wurzel{2} [/mm] statt [mm] \wurzel{3}2.
[/mm]
>
> [mm]e^{\bruch{5pi}{3}*i}[/mm]
>
>
Du meinst [mm] \bruch{2\pi}{3} [/mm] (120 °) statt [mm] \bruch{5\pi}{3}
[/mm]
> [mm]e^{\bruch{11pi}{6}*i}[/mm]
>
>
korrekt!
>
> b)
>
>
> (1 - 3i) * [mm]\overline{2+1}=[/mm] (1-3i)*
> [mm](2-i)=2-i-6i+3i^2=-1-7i[/mm]
>
richtig. Aber du meinst [mm] \overline{2+i} [/mm] statt [mm] \overline{2+1}.
[/mm]
>
> [mm]\bruch{1-i}{1+i}= \bruch{(1-i)*1-i)}{(1+i)*(1-i)}=\bruch{-2i}{2}=-i[/mm]
>
>
korrekt.
> [mm](\bruch{1+i}{\wurzel{2}})^{17}= (\bruch{(1+i)*(-\wurzel{2})}{(\wurzel{2})*(-\wurzel{2})})^{17}=(\bruch{(1+i)*(-\wurzel{2})}{-2})^17[/mm]
>
> wie geht es hier weiter?
Nimm die Polarkoordinaten-Darstellung von [mm] z=\bruch{1+i}{\wurzel{2}}, [/mm] dann geht [mm] z^{17} [/mm] ganz leicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 Fr 01.11.2013 | | Autor: | arbeitsamt |
danke für die antwort
ja da waren einige tippfehler vorhanden
haste dir auch das bild angesehen?
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> Nimm die Polarkoordinaten-Darstellung von
> [mm]z=\bruch{1+i}{\wurzel{2}},[/mm] dann geht [mm]z^{17}[/mm] ganz leicht.
>
[mm] \bruch{1+i}{\wurzel{2}}
[/mm]
= [mm] (e^{\bruch{i*pi}{4}})^{17}
[/mm]
[mm] =e^{\bruch{17*i*pi}{4}}
[/mm]
ist das bis hierhin richtig? und wie bestimme ich jetzt den real und img teil ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Fr 01.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo arbeitsamt!
> [mm]\bruch{1+i}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> = [mm](e^{\bruch{i*pi}{4}})^{17}[/mm]
Du scheinst das Richtige zu meinen, aber das Gleichheitszeichen an dieser Stelle ist natürlich Quatsch.
> [mm]=e^{\bruch{17*i*pi}{4}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nun kann man das noch etwas vereinfachen unter Berücksichtigung der Periodizität von [mm] $2\pi$ [/mm] .
> und wie bestimme ich jetzt den real und img teil ?
[mm] $r*e^{\varphi*i} [/mm] \ = \ [mm] r*\left[\cos(\varphi)+i*\sin(\varphi)\right]$
[/mm]
Gruß
Loddar
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> Nun kann man das noch etwas vereinfachen unter
> Berücksichtigung der Periodizität von [mm]2\pi[/mm] .
>
meinst du so?
[mm] e^{\bruch{17pi*i}{4}} [/mm] => [mm] e^{\bruch{pi}{2}}
[/mm]
wie ich auf pi/2 komme? ich habe einfach pi/4 in dem einheitskreisgezeichnet und dann 17 mal pi/4 vorgerückt und am ende lande ich auf pi/2
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Fr 01.11.2013 | | Autor: | chrisno |
Dann zähl noch einmal nach.
[mm] $\bruch{17}{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} +\bruch{16}{4} =\bruch{1}{4} [/mm] + 2*2$ und nun beachte den Hinweis zur Periodizität von Loddar
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[mm] e^{\bruch{17pi*i}{4}} [/mm] => [mm] e^{\bruch{pi*i}{4}}
[/mm]
[mm] e^{\bruch{pi*i}{4}}= cos(\bruch{pi}{4})+i*sin(\bruch{pi}{4})
[/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}+i
[/mm]
wie geht das jetzt weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Fr 01.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Über den Wert von [mm]\sin\left(\bruch{\pi}{4}\right)[/mm] solltest Du nochmal nachdenken.
Gruß
Loddar
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sin(pi/4) = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
also:
[mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}+\bruch{i\wurzel{2}}{2}
[/mm]
ist das schon die lösung?
also real und img zahl = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Fr 01.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Nun stimmt es.
Gruß
Loddar
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eine frage habe ich noch
ich habe gestern ein tafelbild abgeschrieben, dass ich nicht ganz verstehe.
die aufabe die ist genau die selbe. wir sollten den real und img teil bestimmen
der realteil ist 1 und der img teil 0, aber müsste das nicht genau anders rum sein?
und wie kommt man da auf betrag aus -i (rot markiert)
ich lade das tafelbild als bild hoch
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ich nehme mal an, da hast Du Dich verschrieben. Der Betrag von [mm]-i [/mm] ist 1 und der Betrag als solcher ist natürlich reell. Die Zahl -i ist aber nichts weiter als
[mm] - i = 0 + i \cdot (-1) [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Fr 01.11.2013 | | Autor: | chrisno |
Nur zur handgeschriebenen Rechnung: Da gibt es direkt am Anfang ein Problem. Der Betrag ist eine Abbildung in die reellen Zahlen. Da kann kein i mehr stehen. Woher kommt in der vorletzten Umformung die 5 vor dem +?
Bitte tippe auch das ein, dann fällt die Diskussion wesentlich leichter.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Fr 01.11.2013 | | Autor: | arbeitsamt |
sry ich habe probleme es hier richtig zu tippen
ich komme jetzt auf
Realteil 0, Imaginärteil 1
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| Aufgabe | | [mm] (2+2i)^2+\bruch{|\wurzel{5}+i\wurzel{2}|^2}{i} [/mm] |
nebenrechnung:
[mm] |\wurzel{5}+i\wurzel{2}|^2
[/mm]
= 7
also:
[mm] (2+2i)^2+\bruch{7}{i}
[/mm]
8i+7/i
so jetzt meine frage:
wenn ich jetzt diesen bruch mit (-i) erweitere, ist dann der zweite summand 7 im zähler unabhängig vom ersten wegen punkt vor strich?
also:
8i+(7*(-i))
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Hallo,
> [mm](2+2i)^2+\bruch{|\wurzel{5}+i\wurzel{2}|^2}{i}[/mm]
42!
Spaß beiseite: wie lautet die Aufgabenstellung?
> nebenrechnung:
>
> [mm]|\wurzel{5}+i\wurzel{2}|^2[/mm]
>
> = 7
>
> also:
>
> [mm](2+2i)^2+\bruch{7}{i}[/mm]
>
> 8i+7/i
>
Korrekt.
> so jetzt meine frage:
>
> wenn ich jetzt diesen bruch mit (-i) erweitere, ist dann
> der zweite summand 7 im zähler unabhängig vom ersten
> wegen punkt vor strich?
???
Was heißt das auf Deutsch? Es ist
[mm] \frac{7}{i}=-7i[/mm]
aber:
> also:
>
> 8i+(7*(-i))
das hast du ja offensichtlich heraus. Jetzt kannst du das noch entscheidend vereinfachen...
Gruß, Diophant
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