Polarkoordinaten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Sa 02.07.2005 | | Autor: | Gero |
Hallo nochmal,
da man ja immer nur eine Aufgabe pro Beitrag schreiben soll, kommt mein hier mein zweites Problem:"Berechnen Sie mit Polarkoordinaten
[mm] \integral_{\IR^2}^{} {e^{-|x|^{2}} dx}= \pi
[/mm]
und zeigen Sie mit dem Satz von Fubini
[mm] \integral_{\IR^2}^{} {e^{-t^{2}} dt}= \wurzel{\pi}"
[/mm]
Hat mir jemand ne Idee?
Danke schonmal im voraus!
Gero
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Sa 02.07.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo
ich versuche mal eine Teillösung, zur ersten Teilaufgabe. Vielleicht kann ja jemand mit genügend Rechten die Aufgabe als "teilweise beantwortet" markieren.
> Berechnen Sie mit Polarkoordinaten
> [mm]\integral_{\IR^2}^{} {e^{-|x|^{2}} dx}= \pi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Du weisst ja, dass die Funktion beim Übergang zu Polarkoordinaten mit $r_$ multipliziert werden muss. Dies ergibt für dein Integral diese einfache Rechnung:
$\integral_0^{\infty} \integral_0^{2\pi} r*{e^{-r^{2}}\, d\varphi\, dr=$
$2\pi*\integral_0^{\infty} r*{e^{-r^{2}}\, dr=\pi$
Eine Stammfunktion von $r*{e^{-r^{2}}}$ ist ja $-\bruch{1}{2}e^{-r^2}$
Viele Grüsse
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 So 03.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Paul hat die Aufgabe ja schon gelöst.  Der zweite Teil folgt ja jetzt sofort aus dem Satz von Fubini, nach dem gilt:
[mm] $\left(\int\limits_{\IR} e^{-t^2}\, dt\right)^2 [/mm] = [mm] \int\limits_{\IR} e^{-t_1^2}\, dt_1 \cdot \int\limits_{\IR} e^{-t_2^2}\, dt_2 [/mm] = [mm] \int\limits_{\IR} \int\limits_{\IR} e^{-t_1^2 -t_2^2}\, dt_1dt_2 \stackrel{\mbox{\scriptsize Fubini}}{=} \int\limits_{\IR^2} e^{-\Vert x\Vert^2} \, [/mm] dx = [mm] \pi$,
[/mm]
woraus die Behauptung durch Wurzelziehen folgt.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 So 03.07.2005 | | Autor: | Gero |
Danke für eure Antworten!
Gruß Gero
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