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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Mo 03.12.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Ich soll einige komplexe Zahlen in der Polarkoordinatendarstellung: [mm] z=r*e^{i*\phi} [/mm] darstellen (mit [mm] -\pi<\phi<\pi) [/mm] und dann noch [mm] z^{10} [/mm] in der Form x+iy berechnen.
a.)z=-i
[mm] b.)z=-1+\wurzel{3}i
[/mm]
Erstmal die Polarkoordinaten zu a:
[mm] |z|=r=(-i)^2=-1
[/mm]
und [mm] \phi=-0,5\pi
[/mm]
[mm] =>z=-1*e^{i-0,5\phi}
[/mm]
Nun die [mm] z^{10}:
[/mm]
da gibt es den Zusammenhang: [mm] x=r*cos\phi =>x=-1*cos\(-0,5\pi)=0
[/mm]
[mm] y=r*sin\phi [/mm] => [mm] y=-1*sin\(-0,5\pi)=1
[/mm]
da z=x+iy=0+i
=> [mm] z^{10}=i^{10}=-1
[/mm]
b.)
Polarkoordinaten:
[mm] z=-1+\wurzel{3}i
[/mm]
das ist ja praktisch die Schreibweise z=x+iy, richtig?
Dann nehme ich den Betrag von z => |z|=-2=r
dann brauch ich noch den Winkel
dazu habe ich eine Formel mit arctan gefunden: [mm] arctan\phi=y/x
[/mm]
Also [mm] arctan\phi=\wurzel{-3}/-1=1/3*\pi
[/mm]
[mm] =>z=-2*e^{i*1/3*\pi}
[/mm]
Richtig gerechnet?
[mm] z^{10}=(-1+\wurzel{3}i)^{10}
[/mm]
Da gibts doch bestimmt nen Trick, damit man da nicht mit "binomischer Formel" rechnen muss, der einem viel Zeit erspart?
Danke für eure Hilfe!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Mo 03.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo ONeill!
> Ich soll einige komplexe Zahlen in der
> Polarkoordinatendarstellung: [mm]z=r*e^{i*\phi}[/mm] darstellen (mit
> [mm]-\pi<\phi<\pi)[/mm] und dann noch [mm]z^{10}[/mm] in der Form x+iy
> berechnen.
> a.)z=-i
> [mm]b.)z=-1+\wurzel{3}i[/mm]
>
> Erstmal die Polarkoordinaten zu a:
> [mm]|z|=r=(-i)^2=-1[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Der Betrag ist der Abstand vom Nullpunkt, der kann nicht negativ sein. Also:
[mm] -i = z = x+iy \implies x=0,y=-1[/mm]
[mm]|z|=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(-1)^2} = 1[/mm]
> und [mm]\phi=-0,5\pi[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]=>z=-1*e^{i-0,5\phi}[/mm]
Der Exponent ist falsch geschrieben, da steht jetzt eine Differenz statt eines Produkts:
[mm] z= 1* e^{i(-0,5\pi)} = e^{-i\pi/2} [/mm]
> Nun die [mm]z^{10}:[/mm]
> da gibt es den Zusammenhang: [mm]x=r*cos\phi =>x=-1*cos\(-0,5\pi)=0[/mm]
>
> [mm]y=r*sin\phi[/mm] => [mm]y=-1*sin\(-0,5\pi)=1[/mm]
Nunja, daran siehst du auch, dass du nicht richtig gerechnet hast, denn jetzt ist plötzlich [mm]z=x+iy=i\not=-i[/mm].
>
> da z=x+iy=0+i
> => [mm]z^{10}=i^{10}=-1[/mm]
Das ist sogar richtig, da [mm]z^{10}=(-i)^{10} = -1[/mm].
Ich vermute allerdings, dass du die zehnte Potenz in Polarkoordinaten ausrechnen sollst, also
[mm]z^{10} = \left(e^{-i\pi/2}\right)^{10} = e^{-10i\pi/2} = e^{-5i\pi} = \cos(-5\pi) + i \sin(-5\pi) = -1[/mm].
> b.)
> Polarkoordinaten:
> [mm]z=-1+\wurzel{3}i[/mm]
> das ist ja praktisch die Schreibweise z=x+iy, richtig?
> Dann nehme ich den Betrag von z => |z|=-2=r
Wieder falsches Vorzeichen.
> dann brauch ich noch den Winkel
> dazu habe ich eine Formel mit arctan gefunden:
> [mm]arctan\phi=y/x[/mm]
> Also [mm]arctan\phi=\wurzel{-3}/-1=1/3*\pi[/mm]
Es heisst [mm]\tan\phi=y/x[/mm]. Wieso steht -3 unter der Wurzel?
Richtig: [mm]\tan\phi = \wurzel{3}/(-1) \implies \phi = \arctan \left(\bruch{\sqrt{3}}{-1}\right) = -\pi/3 [/mm]
Und hier haben wir ein Problem: richtig wäre nämlich [mm]2\pi/3[/mm]. Der Grund dafür ist, dass diese Formel nicht zwischen den Fällen [mm]z=-1+\wurzel{3}i[/mm] und [mm]z=1-\wurzel{3}i[/mm] unterscheidet. Diese beiden komplexen Zahlen unterscheiden sich durch Multiplikation mit (-1), daher ist das Verhältnis y/x dasselbe. Der Arcustangens liefert nur Werte zwischen [mm]-\pi/2[/mm] (für y/x<0) und [mm]+\pi/2[/mm] (für y/x>0). Daher musst du für negative x und positive y noch [mm]\pi[/mm] addieren; für negative x und negative y musst du [mm]\pi[/mm] abziehen. Das siehst du am besten, wenn du dir ein paar Fälle aufzeichnest.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Di 04.12.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo Rainer!
Vielen Dank für deine ausführliche Hilfe, ist ja auch nicht dass erste mal, dass du mir hilfst. Danke!
> > dann brauch ich noch den Winkel
> > dazu habe ich eine Formel mit arctan gefunden:
> > [mm]arctan\phi=y/x[/mm]
> > Also [mm]arctan\phi=\wurzel{-3}/-1=1/3*\pi[/mm]
>
> Es heisst [mm]\tan\phi=y/x[/mm]. Wieso steht -3 unter der
> Wurzel?
>
> Richtig: [mm]\tan\phi = \wurzel{3}/(-1) \implies \phi = \arctan \left(\bruch{\sqrt{3}}{-1}\right) = -\pi/3[/mm]
>
> Und hier haben wir ein Problem: richtig wäre nämlich
> [mm]2\pi/3[/mm]. Der Grund dafür ist, dass diese Formel nicht
> zwischen den Fällen [mm]z=-1+\wurzel{3}i[/mm] und [mm]z=1-\wurzel{3}i[/mm]
> unterscheidet. Diese beiden komplexen Zahlen unterscheiden
> sich durch Multiplikation mit (-1), daher ist das
> Verhältnis y/x dasselbe. Der Arcustangens liefert nur Werte
> zwischen [mm]-\pi/2[/mm] (für y/x<0) und [mm]+\pi/2[/mm] (für y/x>0). Daher
> musst du für negative x und positive y noch [mm]\pi[/mm] addieren;
> für negative x und negative y musst du [mm]\pi[/mm] abziehen. Das
> siehst du am besten, wenn du dir ein paar Fälle
> aufzeichnest.
Ok das Prinzip habe ich verstanden, warum der Winkel nun falsch ist.
Wie komme ich dann aber rein schreibtechnisch gesehen zum richtigen Ergebnis? Dass ich mit [mm] \pi [/mm] addieren muss, ist mir nun klar, jedoch wie gesagt die Schreibweise nicht.
Und stillschweigend ein [mm] \pi [/mm] dazu addieren kann ich auch nicht. Reicht die Begründung, die du gegeben hast, also
> Der Arcustangens liefert nur Werte
> zwischen [mm]-\pi/2[/mm] (für y/x<0) und [mm]+\pi/2[/mm] (für y/x>0).
Daher ist der Winkel [mm] \phi=\pi+-\pi/3=\2pi/3
[/mm]
Ist dies so in Ordnung? der Rest sollte dann ohne Hilfe klappen, danke!
Gruß ONeill
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Di 04.12.2007 | | Autor: | ONeill |
Edit: die obige Mitteilung sollte eigentlich eine Frage werden!
Hallo Rainer!
Vielen Dank für deine ausführliche Hilfe, ist ja auch nicht dass erste mal, dass du mir hilfst. Danke!
> > dann brauch ich noch den Winkel
> > dazu habe ich eine Formel mit arctan gefunden:
> > $ [mm] arctan\phi=y/x [/mm] $
> > Also $ [mm] arctan\phi=\wurzel{-3}/-1=1/3\cdot{}\pi [/mm] $
>
> Es heisst $ [mm] \tan\phi=y/x [/mm] $. Wieso steht -3 unter der
> Wurzel?
>
> Richtig: $ [mm] \tan\phi [/mm] = [mm] \wurzel{3}/(-1) \implies \phi [/mm] = [mm] \arctan \left(\bruch{\sqrt{3}}{-1}\right) [/mm] = [mm] -\pi/3 [/mm] $
>
> Und hier haben wir ein Problem: richtig wäre nämlich
> $ [mm] 2\pi/3 [/mm] $. Der Grund dafür ist, dass diese Formel nicht
> zwischen den Fällen $ [mm] z=-1+\wurzel{3}i [/mm] $ und $ [mm] z=1-\wurzel{3}i [/mm] $
> unterscheidet. Diese beiden komplexen Zahlen unterscheiden
> sich durch Multiplikation mit (-1), daher ist das
> Verhältnis y/x dasselbe. Der Arcustangens liefert nur Werte
> zwischen $ [mm] -\pi/2 [/mm] $ (für y/x<0) und $ [mm] +\pi/2 [/mm] $ (für y/x>0). Daher
> musst du für negative x und positive y noch $ [mm] \pi [/mm] $ addieren;
> für negative x und negative y musst du $ [mm] \pi [/mm] $ abziehen. Das
> siehst du am besten, wenn du dir ein paar Fälle
> aufzeichnest.
Ok das Prinzip habe ich verstanden, warum der Winkel nun falsch ist.
Wie komme ich dann aber rein schreibtechnisch gesehen zum richtigen Ergebnis? Dass ich mit $ [mm] \pi [/mm] $ addieren muss, ist mir nun klar, jedoch wie gesagt die Schreibweise nicht.
Und stillschweigend ein $ [mm] \pi [/mm] $ dazu addieren kann ich auch nicht. Reicht die Begründung, die du gegeben hast, also
> Der Arcustangens liefert nur Werte
> zwischen $ [mm] -\pi/2 [/mm] $ (für y/x<0) und $ [mm] +\pi/2 [/mm] $ (für y/x>0).
Daher ist der Winkel $ [mm] \phi=\pi+-\pi/3=\2pi/3 [/mm] $
Ist dies so in Ordnung? der Rest sollte dann ohne Hilfe klappen, danke!
Gruß ONeill
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Hallo ONeill,
> Edit: die obige Mitteilung sollte eigentlich eine Frage
> werden!
>
> Hallo Rainer!
> Vielen Dank für deine ausführliche Hilfe, ist ja auch
> nicht dass erste mal, dass du mir hilfst. Danke!
> > > dann brauch ich noch den Winkel
>
> > > dazu habe ich eine Formel mit arctan gefunden:
> > > [mm]arctan\phi=y/x[/mm]
> > > Also [mm]arctan\phi=\wurzel{-3}/-1=1/3\cdot{}\pi[/mm]
> >
> > Es heisst [mm]\tan\phi=y/x [/mm]. Wieso steht -3 unter der
> > Wurzel?
> >
> > Richtig: [mm]\tan\phi = \wurzel{3}/(-1) \implies \phi = \arctan \left(\bruch{\sqrt{3}}{-1}\right) = -\pi/3[/mm]
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> >
> > Und hier haben wir ein Problem: richtig wäre nämlich
> > [mm]2\pi/3 [/mm]. Der Grund dafür ist, dass diese Formel nicht
> > zwischen den Fällen [mm]z=-1+\wurzel{3}i[/mm] und
> [mm]z=1-\wurzel{3}i[/mm]
> > unterscheidet. Diese beiden komplexen Zahlen
> unterscheiden
> > sich durch Multiplikation mit (-1), daher ist das
> > Verhältnis y/x dasselbe. Der Arcustangens liefert nur
> Werte
> > zwischen [mm]-\pi/2[/mm] (für y/x<0) und [mm]+\pi/2[/mm] (für y/x>0).
> Daher
> > musst du für negative x und positive y noch [mm]\pi[/mm]
> addieren;
> > für negative x und negative y musst du [mm]\pi[/mm] abziehen.
> Das
> > siehst du am besten, wenn du dir ein paar Fälle
> > aufzeichnest.
>
> Ok das Prinzip habe ich verstanden, warum der Winkel nun
> falsch ist.
> Wie komme ich dann aber rein schreibtechnisch gesehen zum
> richtigen Ergebnis? Dass ich mit [mm]\pi[/mm] addieren muss, ist mir
> nun klar, jedoch wie gesagt die Schreibweise nicht.
> Und stillschweigend ein [mm]\pi[/mm] dazu addieren kann ich auch
> nicht. Reicht die Begründung, die du gegeben hast, also
> > Der Arcustangens liefert nur Werte
> > zwischen [mm]-\pi/2[/mm] (für y/x<0) und [mm]+\pi/2[/mm] (für y/x>0).
>
> Daher ist der Winkel [mm]\phi=\pi+-\pi/3=\2pi/3[/mm]
> Ist dies so in Ordnung? der Rest sollte dann ohne Hilfe
> klappen, danke!
Ein kleiner Schreibfehler:
[mm]\phi=\pi+-\pi/3= \bruch{2}{3}*\pi[/mm]
Dann lautet deine komplexe Zahl in Polarkoordinaten:
[mm] $z_{2} [/mm] = [mm] 2*e^{\bruch{2}{3}*\pi}$
[/mm]
Wenn Du das jetzt mit 10 potenzierst erhältst Du:
[mm] $z_{2}^{10} [/mm] = [mm] 2^{10}*e^{\bruch{20}{3}*\pi} [/mm] = [mm] 1024*e^{\bruch{2}{3}*\pi}$
[/mm]
In kartesischen Koordinaten müsste das sein:
[mm] $z_{2}^{10} [/mm] = -512 + i*886,81 $
Ich weiß nicht, ob Du dir vielleicht schon den "Papula" aus der Uni-Bibliothek ausgeliehen hast. Da sind so die ganzen mathematischen Grundlagen (auch die komplexen Zahlen), die man als Chemiker so im Studium braucht, ziemlich gut erklärt drin.
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Di 04.12.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo Martinius!
Danke für deine Antwort und auch den Buchtipp. Ein ordentliches Buch muss ich mir in jedem Fall noch mal ausleihen oder kaufen, der Dozent erklärt leider immer sehr dürftig. 
Schönen Abend noch!
Gruß ONeill
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